０は無理数ですか？

質問

ちょっと急ぎなもので教えてください。

いま背理法の証明をしているのですが、
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=378364
行き詰まってしまいました。

[問題]
a+b√3＝c+d√3 ・・・(1) (a,b,c,dは有理数[整数÷整数の分数で表せる数])
のときに, a=c, b=d であることを証明せよ

証明方法はわかるのですが、いまいち理解できていません。
０は無理数なのかわかるとありがたいのですが。
よろしくお願いします。

回答No.2

maruru01 · ベストアンサー

こんにちは。maruru01です。

0=0/1
0=0/2
などと表せるので、0は有理数です。

それから、0で割ってはいけません。
(a-c)/(b-d)としている時点ですでに、
b≠d
と仮定していることになります。

だから、
＞b=d、かつa=cと仮定すると
＞√3＝(c-a)/(b-d)
ということをしてはいけません。
ありえません。

ちなみに
b≠d
の場合に、a=cでも、
√3=0
で、無理数=有理数なので矛盾になります。

お礼

早速の返信ありがとうございます。

確認なのですが、

＞＞b=d、かつa=cと仮定すると
＞√3＝(c-a)/(b-d)
ということをしてはいけません。
ありえません。

ということですが、そんな気がしてきました。
私は＞b=d、かつa=cと仮定する場合、矛盾しないかを確かめたかったのです。

その場合は、素直に
a+b√3=c+d√3
をいちいち展開せずに考えていればいいんでしょうか？
確かにこれはこのままでb=d、かつa=cだと矛盾しませんね。

回答No.5

oshiete_goo

＞私は＞b=d、かつa=cと仮定する場合、矛盾しないかを確かめたかったのです。
＞その場合は、素直に a+b√3=c+d√3 をいちいち展開せずに考えていればいいんでしょうか？

全くその通りです. b=d、かつa=cと仮定する場合に, 与式(1)が成立することは認めてしまって良いです.
それ以上いじる必要はありません.

回答No.4

bumin

a+b√3＝c+d√3
これを展開して…
√3(b-d)=(c-a)

a,b,c,dが有理数の場合、
(c-a) (b-d) は必ず有理数です　　　　　

一方、√3は無理数です

無理数にいくら有理数を乗じても有理数にはなりません
したがってこの式を成立させるためには(b-d)=0として無理数√3を消さねばならず、その結果(c-a)も=0になる

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
かなりむちゃな設問ですが、このような手順で証明されればで宜しいのでは？

回答No.3

fushigichan

こんにちは。
a+b√3=c+d√3
a-c=(d-b)√3

b≠dとすると
d-b=e:０以外の有理数　とおける
a-c=e√3
となり、左辺は有理数、右辺は無理数となり、矛盾。
よってb=d

a≠cとすると
a-c=f:0以外の有理数　とおけるが
f=0 となり矛盾。
よってa=cも成り立つ

以上より、a=c,b=d　が成り立つ。

回答No.1

bumin

０は整数ですから、有理数になりますね

お礼

回答ありがとうございます。
やっぱりそうなんですね。