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媒介変数のグラフの対称性について。
媒介変数、x(t)=cos(t+π/4),y(t)=cos(2t)(0≦t<2π）で与えられているとき、このグラフのx軸、y軸に対する対称性がなぜ、｛x(-t)=x(t)、y(-t)=-y(t)｝（←x軸に対する対称性）、｛x(t+π)=-x(t),y(t+π)=y(t)｝(←ｙ軸に対する対称性）で与えられるのかが分かりません。また、なぜ、x、y軸に対する対象性を調べるとき、x（t）、y（t）両方調べなくてはいけないのかも分かりません。よろしければご教授願います。
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前にも書いたつもりですが ｙ軸対称であることを言うのにｔは関係ありません。 （と言ってしまうと言い過ぎですが） ｘのときと－ｘのときにｙの値が同じになる というのがｙ軸対称です。 ｘのときのｙの値（ｔでつながっているからｔを使う）と －ｘのときのｙの値（これも同様）を計算して等しいか どうかだけです。 ｘからｔを求める→ｙの式のｔに代入 －ｘからｔを求める→ｙの式のｔに代入 ２つが等しければｙ軸対称 いまの問題式でいえば ｘのときｔとすると －ｘのときｔ＋π それをｙに代入して等しいのでｙ軸対称です。 ｘ軸対称 ｙからｔを求める→ｘの式のｔに代入 －ｙからｔを求める→ｘの式のｔに代入 ２つが等しければｘ軸対称 だけど ｙのときｔとすると －ｙのときｔ＋（π/2） これをｘの式に代入すると・・・・ ｘの値は等しくならないのでｘ軸対称ではないと思ったが ＃３のtarameさんの式で対称性が示される。 ｙの値に対して複数のｘが存在するらしい。 ためしにｔを消去してみると ｘ＾４－４ｘ＾２＋４ｙ＾２＝０ たしかにｘ軸、ｙ軸に対称である。
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- tarame
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すでに、お二人の方がご指摘の通りｘ軸に対する対称性の式は間違っていますね。 ｙ軸に対する対称性ですが、 ＞x(t+π)=-x(t),y(t+π)=y(t) は、確かに成り立っていますね。 x0＝ｘ(t0),y0＝y(t0)とすると、 ｔ＝t0＋πのとき x1＝ｘ(t)＝－x0，y1＝ｙ(t)＝y0となり （x0,y0）と（x1,y1）はｙ軸で対称な点となります。 よって 「0≦ｔ≦π でのグラフ」と「π≦ｔ＜2π でのグラフ」はｙ軸で対称であるといえます。 ｘ軸対称のほうですが、 x(-t-π/2)＝x(t),y(-t-π/2)＝-y(t)という式で対称性を示すことが出来そうですね。
補足
投稿まことにありがとうございます。ところで、ｙ（ｔ＋π）＝ｙ（ｔ）が成り立つことは分かるのですが、それがどうして、ｙ軸に対して対称といえるのでしょうか？また、ｘ（ｔ）に対しても同時に調べなければならないのはなぜでしょうか？引き続きお願いします。
たしかに x(t)=cos(t+π/4)ではx(-t)=x(t)は成り立ちませんね。 何か式を間違えていませんか？ 座標軸に関する対称性の一般論として （媒介変数はとりあえず考えないで） ｙ＝f(x) がｙ軸対称である条件をいえますか？ あるいはｘ＝ｇ(y)がｘ軸対称である条件をいえますか。 媒介変数が話を厄介にしています。一時よけておいて ください。 ＞x（t）、y（t）両方調べなくてはいけないのかも分かりません いま問題にしているのはｘｙ平面におけるx軸（あるいはｙ軸）に関する問題でしょう。ｔ軸ではないですね。 当然ｘとｙの関係を調べなくてはなりません。
お礼
投稿ありがとうございました。
- funifuni11
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＞このグラフのx軸、y軸に対する対称性がなぜ、｛x(-t)=x(t)、y(-t)=-y(t)｝（←x軸に対する対称性）、｛x(t+π)=-x(t),y(t+π)=y(t)｝(←ｙ軸に対する対称性）で与えられる これ、間違ってませんか? そもそも、x(t)=x(-t)とはなっていませんし。 このグラフの対称性について調べる時には、 次のように考えます。 ～x軸に対する対称性～ ある1つのxについて、tの値が二つ存在し、 その二つのtについてそれぞれyを計算すると、 それらが異符号の関係になっている。 具体的には、 x(t)=x0 を満たすようなtは二つあって、 片方をt1=α とすれば、 他方はt2=-α + 3/2π です。 t1、t2それぞれをy(t)の式に代入すると、 y(t1)=cos2α y(t2)=-cos2α となるので、y(t1)=-y(t2)の関係が 成り立っていることが分かります。 よって、このグラフはx軸対称となります。 y軸対象について考える場合も同じ考え方で出来るはずです。 こんな感じで大丈夫ですか?
お礼
投稿ありがとうございます！そうなんですよ。間違っているかどうかはちょっと自分でも分からないのです。Ｙ軸について、なぜ、Ｙ（ｔ＋π）なのか、ぜんぜん分からないのです。自分も調査中なので、今後ともよろしくお願いします。
お礼
ありがとうございます。分かりました。ｘとｙの両方を同時に調べなければならない意味が。なるほど。そうですね。