媒介変数表示における対称性の確認方法（大学受験）

質問

よろしくお願いします。
回転体の体積を求める問題です。
問題は、
x=t-sint, y=1-costの0≦t≦2πの部分と３直線y=1, x=0およびx=2πで囲まれた図形をx軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよです。

私は、素直に０≦t≦π/2, π/2≦t≦３π/2, ３π/2≦２πと区分して積分したのですが、回答は、この図形がx=πに関して対称であることを利用して効率的に解かれていました。ですが、回答は「図より対称である」としか書かれていません。

そこで質問なのですが、この図形がx=πに関して対称とというのをただ「図より」ですませてしまって、大丈夫ですか？

またそもそも私はこれがどうして対称なのかわかりません。もちろんｘとｙをそれぞれ微分して図を書いたので、だいたい、もしかしたら、対称かも、程度には思いましたが、はっきりとはわかりませんでした。

媒介変数表示でなく、ｘとｙ表示のときは、偶関数の確認で対称性を確認できると思いますが、このような媒介変数表示において、対称性はどのように証明できますか？媒介変数ｔを削除しようと思いましたがかなり手間（やり方が悪いだけかもしれません。）で、これなら対称性を使わずにやった方が早いと途中で挫折しました。

長くなりましたが、対称性をどのように証明したらいいのか教えてください。よろしくお願いいたします。

回答No.3

kabaokaba

No.2です

>2π-tはどのように求められましたか。

0<= x <=2πの範囲で，x=πで対称だと検討をつけたら，
「左側の点」(x,y)のx=πによる対称な点は
どのように表されるかを考えます．

一般論を書きます．
(x,y)の直線 ax+by+c=0 に関する
対称な点の座標を(x',y')とすると
(x,y)と(x',y')の中点が ax+by+c=0 上です．
また，(x,y)と(x',y')のなす直線は
ax+by+c=0と直交します．
これで (x',y') の座標が計算できます．
＃多分，これはご存知でしょう．

今回は直線が x=π なので，
(x+x')/2 = π （中点の条件）
y=y' （直交の条件）
これより，x'=2π-x，y'=y です

ということで，
曲線上の点(x,y)に対して
(2π-x,y)も曲線上の点であることを示せば十分
（厳密には，必要十分ですが，十分だけでよい）です．

更に，t=πの前後で軌跡が「左右」に
分割できるかなと見当をつければ，
tに関してもt=πで対称かと想像します．
となると，
tに対して，πで対称になる点t'は
上の議論とほぼ同じ（中点の方だけ）で
(t+t')/2 = π
t' = 2π-t
です．
したがって，
媒介変数 t のとき (x,y)
2π-t のとき (2π-x,y)
だろうと予測します．

まあ，こんな感じで私はやっつけました．
実際は，もうちょっと「予測部分」は
簡略化して，一気に見当つけて計算しましたが．

要は「得たい答え」から逆算するわけです．
この解がほしい，そのためにはどういう条件が？
さらにそのためには・・・というわけです．

お礼

度々のご回答ありがとうございます。
一度自分でやってみます。
ご丁寧にご説明いただきありがとうございます。

回答No.2

kabaokaba

対称性をきちんと書くこともできます
t=πの前後でx=πで対称だってことは
検討がつくと思います．
これを念頭におくとこんな感じでしょうか

冗長に書いてみます

x(2π-t)
=2π-t-sin(2π-t)
=2π-t-sin(-t)
=2π-t+sin(t)
=2π-x(t)

y(2π-t)=y(t)

よって，(x(t),y(t))=(2π-x(2π-t), y(2π-t))
つまり，軌跡上の任意の点(x,y)に対して，
この軌跡上には点(2π-x,y)が存在する．
これはこの軌跡がx=πで対称であることを意味する．

こんな感じですが，
「図より」で十分かもしれませんが
証明しておいて悪いことはありません．
むしろアピールになるでしょう．

ちなみに，採点者は
同じ「図より」で書いてあっても
「こいつはわかって書いてる」
「こいつは適当に書いてる」の違いは
すぐ分かります．

お礼

ご回答ありがとうございます。
実際に自分でやってみましたら、成立が確認できました。ですが、2π-tはどのように求められましたか。自分で導きだすにはどうしたらいいのでしょうか？定石ならごめんなさい。

回答No.1

crisredfield

去年受験したばかりの者です。
結論から言えば、「図より」で大丈夫です。

この関数は媒介変数を消去できません。なので具体的には証明できません。
しかしこの図形はx=πで対象なので、この関数の0≦t≦πをf(t)、π≦t≦2πをg(t)とおくと、
f(t)=g(2π-t)　　（0≦t≦π）
がx,yそれぞれにおいて成り立っていることは確認できるでしょう。

お礼

ご回答ありがとうございました。
確かにf(t)=g(2π-t)　　（0≦t≦π）となりました。
でも2π-tというのは、どこから出てきたのでしょうか？定石なのでしょうか？すいませんが、教えていただけませんか。