静岡大学数学について。

質問

次の問題がわかりません。詳しく教えていただけると幸いです。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

弧ABの中点をCとすると、この図形は直線OCに関して線対称であり、OM//PS//QRである。
OCとPQの交点をD、OCとRSの交点をEとする。
∠AOD=α より PD = sinα、OD = cosα
よって SE = PD = sinα であり、直角三角形OSEで考えて（∠SOE = θ）
SE = OE * tanθ より OE = sinα / tanθ
以上より
PQ = 2PD = 2sinα、PS = DE = OD - OE = cosα - sinα / tan θ
長方形PQRSの面積は
2sinα * ( cosα - sinα / tanθ )
（2倍角より）
= sin2α - (1 - cos2α) / tanθ
= sin2α + (1 / tanθ) cos2α - 1 / tanθ
= (1 / sinθ) (cos2αcosθ + sin2αsinθ) - 1 / tanθ
= (1 / sinθ) cos(2α-θ) - 1 / tanθ
sinθは正なので、これが最大になるのはcos(2α-θ)=1 のとき。
0<α<θ<π/2 より 2α-θ=0 のとき面積最大。
よって α = θ/2 …（1）の答

このとき長方形の面積は
1 / sinθ - 1 / tanθ = (1 - cosθ) / sinθ … （2）の答

θ = 2αのとき
PQ = 2sinα、PS = cosα - sinα / tan2α
これが等しいとき
2sinα = cosα - sinα / tan2α
sinα / tan2α = cosα - 2sinα
sinα / (sin2α / cos2α) = cosα - 2sinα
sinα * cos2α = (cosα - 2sinα) * sin2α
（両辺を sinα ≠ 0 で割って）
cos2α = (cosα - 2sinα) * 2cosα
cos2α = (1 + cos2α) - 2sin2α
sin2α = 1/2
αは鋭角なので α = π/12
よって θ = 2α = π/6 … （3）の答

補足

∠AODと、∠SOEは、同じだと思うのですが。
Eを通らずに、Dに行くのでしょうか？それなら、納得がいくのですが。
教えていただけると幸いです。
意味不明ですみません。