数学について。

質問

次のことについて。教えていただけると幸いです。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/10388861.html

回答No.3

jcpmutura

実数kに対して
2x-k≧|3x+4|となるような実数xの解集合はkに依存するから,それを
S(k)={x∈R;2x-k≧|3x+4|}
とする
解が存在し(S(k)≠φ)となるような実数kの集合を
C={k∈R;S(k)≠φ}
とする
V(k)={x∈R;(2x-k≧|3x+4|)&(3x+4≧0)}
W(k)={x∈R;(2x-k≧|3x+4|)&(3x+4<0)}
A={k∈R;V(k)≠φ}
B={k∈R;W(k)≠φ}
とすると
S(k)=V(k)∪W(k)
C={k∈R;V(k)∪W(k)≠φ}
C=A∪B

V(k)={x∈R;(2x-k≧|3x+4|)&(3x+4≧0)}
V(k)={x∈R;(2x-k≧3x+4)&(3x≧-4)}
V(k)={x∈R;(-k-4≧x)&(x≧-4/3)}
V(k)={x∈R;-4/3≦x≦-k-4}
↓A={k∈R;V(k)≠φ}だから
A={k∈R;-4/3≦-k-4}
A={k∈R;k≦-8/3}

W(k)={x∈R;(2x-k≧|3x+4|)&(3x+4<0)}
W(k)={x∈R;(2x-k≧-3x-4)&(3x<-4)}
W(k)={x∈R;(5x≧k-4)&(x<-4/3)}
W(k)={x∈R;{x≧(k-4)/5}&(x<-4/3)}
W(k)={x∈R;(k-4)/5≦x<-4/3}
↓B={k∈R;W(k)≠φ}だから
B={k∈R;(k-4)/5<-4/3}
B={k∈R;k-4<-20/3}
B={k∈R;k<4-20/3}
B={k∈R;k<-8/3}

C=A∪B
C={k∈R;k≦-8/3}∪{k∈R;k<-8/3}
↓A⊃BだからA∪B=Aだから
C=A
C={k∈R;k≦-8/3}
∴
定数kの値の範囲は
k≦-8/3

S(k)=V(k)∪W(k)
S(k)={x∈R;-4/3≦x≦-k-4}∪{x∈R;(k-4)/5≦x<-4/3}
S(k)={x∈R;(k-4)/5≦x≦-k-4}
∴
解xの値の範囲は
(k-4)/5≦x≦-k-4

------------------------------
k<-8/3となるような実数kの集合は上記のように
B={k∈R;k<-8/3}
となります
k≦-8/3となるような実数kの集合は上記のように
A={k∈R;k≦-8/3}
となります
k <-8/3又は、k≦-8/3となるような実数kの集合は上記のように
A∪B={k∈R;k≦-8/3}∪{k∈R;k<-8/3}
となります
k<-8/3,又は,k=-8/3,である時
k≦-8/3,というので
A={k∈R;k≦-8/3}={-8/3}∪{k∈R;k<-8/3}={-8/3}∪B
となるから
A∪B={-8/3}∪B∪B={-8/3}∪B=A
となるので

k <-8/3又は、k≦-8/3となるような実数kの集合A∪B
と
k≦-8/3となるような実数kの集合A
は
同じです

(ii)の最初の解を持つ範囲とは
B={k∈R;W(k)≠φ}
W(k)={x∈R;(k-4)/5≦x<-4/3}
だから
B={k∈R;(k-4)/5<-4/3}
B={k∈R;k-4<-20/3}
B={k∈R;k<4-20/3}
B={k∈R;k<-8/3}
で
k=-8/3
とすると
W(-8/3)={x∈R;(-8/3-4)/5≦x<-4/3}
W(-8/3)={x∈R;-4/3≦x<-4/3}
-4/3以上-4/3未満の実数は存在しないから
W(-8/3)=φ
だから-8/3がBの要素ならW(-8/3)≠φでなければならないから
-8/3はBの要素でないから
B={k∈R;k<-8/3}
k<-8/3
でなければなりません

回答No.2

178-tall

>2x - k≧|3x + 4|　　… (1)

(1)の x-y グラフをイメージしてみる。

(1) の左辺のグラフ (x-y) 、
　y = 2x - k　　… (2)
は右上がりの直線グラフ。

右辺のグラフ (x-y) は、
x≧-4/3 では、
　y = 3x + 4　　… (3)
なる右上がりの直線で、y の最低値は x=-4/3 にて y=0 。
　x≧-4/3 では、
　y = -(3x + 4)　　… (4)
なる左上がりの直線で、y の最低値は x=-4/3 にて y=0 。
つまり、x 軸上の (-4/3, 0) を y 最低点とする V 字形グラフ。

… ということは、
　不等式 (1) が解をもつのは、直線グラフ(2)の x 軸をよぎる点が x≦-4/3 の場合
… ということ。

その場合、(2)と(3)の交点は、
　2x - k = 3x + 4
　x = -(4+k)
で、(1) の解の上限。
また、(2)と(4)の交点は、
　2x - k = -(3x + 4)
　5x = k - 4
　x = (k - 4)/5
で、(1) の解の下限。

… てな調子？

回答No.1

jcpmutura

2x-k≧|3x+4|…(1)
とする

(i)3x+4≧0すなわちx≧-4/3のとき
2x-k≧3x+4
ゆえに
x≦-k-4…(2)

x≧-4/3と(2)より
(1)の解は(解があるなら)
-4/3≦x≦-k-4…(i)

(ii)3x+4<0すなわちx<-4/3のとき
2x-k≧-(3x+4)
5x≧k-4
ゆえに
x≧(k-4)/5…(3)

x<-4/3と(3)より
(1)の解は(解があるなら)
(k-4)/5≦x<-4/3

これと(i)から
(1)の解は(解があるなら)
(k-4)/5≦x≦-k-4…(A)
だから
解があるなら
(k-4)/5≦-k-4
でなければならない
↓両辺に5をかけると
k-4≦-5k-20
↓両辺に5k+4を加えると
6k≦-16
↓両辺を6で割ると
k≦-8/3

定数kの値の範囲は
k≦-8/3

(A)からxの値の範囲は
(k-4)/5≦x≦-k-4

補足

なぜ、k ＜-8/3又は、k≦-8/3ではないのでしょうか？共通範囲でしょうか？(ii)の最初に≦ではなくて、＜なのです。教えていただけると幸いです。(ii)の最初の解を持つ範囲のkの値に、≦を入れるべきだと思うのですが。＜になっていてもだいじょうぶなのでしょうか？なぜなのでしょうか？