実数kに対して
2x-k≧|3x+4|となるような実数xの解集合はkに依存するから,それを
S(k)={x∈R;2x-k≧|3x+4|}
とする
解が存在し(S(k)≠φ)となるような実数kの集合を
C={k∈R;S(k)≠φ}
とする
V(k)={x∈R;(2x-k≧|3x+4|)&(3x+4≧0)}
W(k)={x∈R;(2x-k≧|3x+4|)&(3x+4<0)}
A={k∈R;V(k)≠φ}
B={k∈R;W(k)≠φ}
とすると
S(k)=V(k)∪W(k)
C={k∈R;V(k)∪W(k)≠φ}
C=A∪B
V(k)={x∈R;(2x-k≧|3x+4|)&(3x+4≧0)}
V(k)={x∈R;(2x-k≧3x+4)&(3x≧-4)}
V(k)={x∈R;(-k-4≧x)&(x≧-4/3)}
V(k)={x∈R;-4/3≦x≦-k-4}
↓A={k∈R;V(k)≠φ}だから
A={k∈R;-4/3≦-k-4}
A={k∈R;k≦-8/3}
W(k)={x∈R;(2x-k≧|3x+4|)&(3x+4<0)}
W(k)={x∈R;(2x-k≧-3x-4)&(3x<-4)}
W(k)={x∈R;(5x≧k-4)&(x<-4/3)}
W(k)={x∈R;{x≧(k-4)/5}&(x<-4/3)}
W(k)={x∈R;(k-4)/5≦x<-4/3}
↓B={k∈R;W(k)≠φ}だから
B={k∈R;(k-4)/5<-4/3}
B={k∈R;k-4<-20/3}
B={k∈R;k<4-20/3}
B={k∈R;k<-8/3}
C=A∪B
C={k∈R;k≦-8/3}∪{k∈R;k<-8/3}
↓A⊃BだからA∪B=Aだから
C=A
C={k∈R;k≦-8/3}
∴
定数kの値の範囲は
k≦-8/3
S(k)=V(k)∪W(k)
S(k)={x∈R;-4/3≦x≦-k-4}∪{x∈R;(k-4)/5≦x<-4/3}
S(k)={x∈R;(k-4)/5≦x≦-k-4}
∴
解xの値の範囲は
(k-4)/5≦x≦-k-4
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k<-8/3となるような実数kの集合は上記のように
B={k∈R;k<-8/3}
となります
k≦-8/3となるような実数kの集合は上記のように
A={k∈R;k≦-8/3}
となります
k <-8/3又は、k≦-8/3となるような実数kの集合は上記のように
A∪B={k∈R;k≦-8/3}∪{k∈R;k<-8/3}
となります
k<-8/3,又は,k=-8/3,である時
k≦-8/3,というので
A={k∈R;k≦-8/3}={-8/3}∪{k∈R;k<-8/3}={-8/3}∪B
となるから
A∪B={-8/3}∪B∪B={-8/3}∪B=A
となるので
k <-8/3又は、k≦-8/3となるような実数kの集合A∪B
と
k≦-8/3となるような実数kの集合A
は
同じです
(ii)の最初の解を持つ範囲とは
B={k∈R;W(k)≠φ}
W(k)={x∈R;(k-4)/5≦x<-4/3}
だから
B={k∈R;(k-4)/5<-4/3}
B={k∈R;k-4<-20/3}
B={k∈R;k<4-20/3}
B={k∈R;k<-8/3}
で
k=-8/3
とすると
W(-8/3)={x∈R;(-8/3-4)/5≦x<-4/3}
W(-8/3)={x∈R;-4/3≦x<-4/3}
-4/3以上-4/3未満の実数は存在しないから
W(-8/3)=φ
だから-8/3がBの要素ならW(-8/3)≠φでなければならないから
-8/3はBの要素でないから
B={k∈R;k<-8/3}
k<-8/3
でなければなりません
補足
なぜ、k ＜-8/3又は、k≦-8/3ではないのでしょうか？共通範囲でしょうか？(ii)の最初に≦ではなくて、＜なのです。教えていただけると幸いです。(ii)の最初の解を持つ範囲のkの値に、≦を入れるべきだと思うのですが。＜になっていてもだいじょうぶなのでしょうか？なぜなのでしょうか？