数学について。

質問

次の問題がわかりません。教えていただけると幸いです。40番です。

回答No.9

noname#231363

ANo.6への補足に対する追加回答です。

ANo.2で触れたように、
f(x)（上に凸）=-(x-2)^2+a-1
g(x)（下に凸）=(x+2)^2-1
g(x)=(x+2)^2-1の軸の方程式はx＝-2であるから、-3≦x2≦3の範囲において、g(x2)の最小値は、x2=-2のときのg(-2)=-1
そして、-3≦x1≦3の範囲にあるx1について、f(x1)＞-1を満たす場合があるようにするためには、-3≦x1≦3の範囲におけるf(x1)の最大値が-1よりも大きくなるようにすればばいいことになります。
-3≦x1≦3の範囲におけるf(x1)の最大値は、f(x)=-(x-2)^2+a-1の軸の方程式がx=2であるから、x1=2のときのf(2)=a-1
よって、a-1＞-1であればいいので、a＞0（イは0）
簡単には、-3≦x≦3の範囲において、「f(x)の最大値＞g(x)の最小値」になればいいということです。
とにかく、グラフを描いて理解しましょう。

回答No.8

178-tall

一部錯乱を訂正。

また、g(x) = x^2+4x+3 の x-y グラフは「下に凸」で、区間 [-3, +3] の少なくとも一端で最高になる。
実際、x=+3 において最高 = +24 。

回答No.7

178-tall

>なぜ、a＞50なのでしょうか？

すでに説明しつくされてる。蛇足になるけど…。

「ア の題意」は、
　x の区間 [-3, +3] において、f(x) の最低値が g(x) の最高値を超えるとき、a＞ア (　) は？
…らしい。

f(x) = -x^2+4x+a-5 の x-y グラフは「上に凸」なので、区間 [-3, +3] の少なくとも一端で最低となる。
実際、x=-3 において最低 = a-26 。

また、g(x) = x^2+4x+3 の x-y グラフは「下に凸」で、区間 [-3, +3] の少なくとも一端で最高になる。
実際、x=+2 において最高 = +24 。

「題意」により、
　a-26＞+24
　　　↓
　a＞+24+26 = 50

回答No.6

noname#231363

ANo.2とANo.5の回答者です。

ANo.2で触れたように、
f(x)（上に凸）=-(x-2)^2+a-1
g(x)（下に凸）=(x+2)^2-1
g(x)=(x+2)^2-1の軸の方程式はx＝-2であるから、-3≦x2≦3の範囲において、g(x2)の最大値は、x2=3のときのg(3)=24
そして、-3≦x1≦3の範囲にあるx1について、常にf(x1)＞24を満たすためには、-3≦x1≦3の範囲におけるf(x1)の最小値が24よりも大きくなければなりません。
-3≦x1≦3の範囲におけるf(x1)の最小値は、f(x)=-(x-2)^2+a-1の軸の方程式がx=2であるから、x1=-3のときのf(-3)=a-26
よって、a-26＞24でなければならないので、a＞50（アは50）
簡単には、-3≦x≦3の範囲において、「f(x)の最小値＞g(x)の最大値」でなければならないということです。

補足

では、(イ)がなぜ、a＞0となるのでしょうか？教えていただけると幸いです。

回答No.5

noname#231363

ANo.2の補足・訂正です。

・アについて
x1=x2であれば a＞26になるのですが（自分も最初はこのように考えました。）、x1≠x2の場合も考えなければならないので、a＞50になります。

・イについて
アについてはx1≠x2の場合も考えなければならないことに気付いたにも拘らず、イについてはx1=x2=0の場合に拘ってしまい、詰めが甘くて完敗です。
f(x)の最大値f(2)=a-1と、g(x)の最小値g(-2)=-1の大小関係を考えなければなりませんでした。
よって、a-1＞-1→a＞0（イは0）です。
アについて考えると、どうしても「f(x)とg(x)が2点で交わる」との先入観を抱いてしまいますが、これがこの問題の目的でもあります。
a＞8は、「f(x)とg(x)が2点で交わる」条件です。
物の見事に引っ掛かってしまいました。

補足

なぜ、a＞50なのでしょうか？もう少し詳しく教えていただけると幸いです。

回答No.4

jcpmutura

(ア)50
(イ)0

a>0(イは0)のときにf(2)>g(-2)となるのでイは8ではありません

関数
f(x)=-x^2+4x+a-5
g(x)=x^2+4x+3
とおく
x_1,x_2が
-3≦x_1≦3
-3≦x_2≦3
を満たせば,
常に
f(x_1)>g(x_2)
となるのは,
f(3)=-3^2+4*3+a-5=-9+12+a-5=a-2
>
f(-3)=-(-3)^2+4(-3)+a-5=-9-12+a-5=a-26
>
g(3)=3^2+4*3+3=9+12+3=24
>
g(-3)=(-3)^2+4(-3)+3=9-12+3=0
a-26>24
a>50
のときであり,

-3≦x_1≦3
-3≦x_2≦3
を満たすx_1,x_2で,
f(x_1)>g(x_2)
となるものがあるのは,
f(x)=-(x-2)^2+a-1
g(x)=(x+2)^2-1
f(2)=a-1
>
g(-2)=-1
a-1>-1
a>0
のときである.

補足

なぜ、a＞50になるのでしょうか？もう少し詳しく教えていただけると幸いです。

回答No.3

info33

40
f(x)=-x^2+4x+a-5
g(x)=x^2+4x+3
-3≦x1≦3, -3≦x2≦3 のとき
f(x1)>g(x2)　を満たす為の必要十分条件は
f(-3)>g(-3)かつf(3)>g(3),
すなわち
-9-12+a-5>9-12+3 かつ　-9+12+a-5>9+12+3,
整理すると
a>26 かつ a>26
∴ a>26　
(答え)
イ. 26

回答No.2

noname#231363

40（冒頭に「40番です」と示されていますね。）
f(x)とg(x)を平方完成した方が、グラフの形が分かりやすく、計算も簡単です。

f(x)（上に凸）
=-x^2+4x+a-5
=-(x^2-4x)+a-5
=-{(x-2)^2-4}+a-5
=-(x-2)^2+a-1

g(x)（下に凸）
=x^2+4x+3
=(x+2)^2-1

f(x)の最小値はf(-3)=a-26、g(x)の最大値はg(3)=24
これから、a-26＞24→a＞50（アは50）のときに与えられた条件を満たします。

また、f(x)=g(x)とおくと、
-x^2+4x+a-5=x^2+4x+3
2x^2=a-8
このxについての2次方程式は、a=8のときに重解x=0をもちます。
つまり、f(0)=a-5、g(0)=3であるから、f(x)とg(x)は、a=8のときに点(0,3)で接します。
そして、a＞8（イは8）のときにf(0)＞g(0)となるので、与えられた条件を満たします。

回答No.1

asuncion

画像の見え具合から想像するに
40か41
なんでしょうけど、どっちですか？
はっきり書かないと、わかりません。