静岡大学数学について。

質問

次の問題で、∠AOD と∠SOEは同じだと思うのですが。
Eを通らずに、Dに行くのでしょうか？それなら納得がいくのですが。
意味不明ですみません。
教えていただけると幸いです。
https://okwave.jp/qa/q9645006.html

回答No.14

178-tall

ANo.5 以降の書き込みに、基本的な錯誤あり。訂正法を知らず、無視されるよう願います。
蒙御免。

>https://multimedia.okwave.jp/image/answers/11/116985/116985.jpg
>の図面にて、直線 OM の下方半分に着目します。
　　　↑
この図面にて、固定長 1 の線分は OP 。
ところがあとの勘定で、それをまったく忘却してました。

|OP| = 1 として再考してみると、
　α=θ/2
のとき、長方形 PQRS の面積が最大になる模様。
(みごとにトリックしかけられた感じ)

回答No.13

178-tall

書き込みをとっ散らかしました。まとめの一口コメントでも…。

ANo.5 と ANo.10 の「作図」的答案では、
ひと目で
　tanα = (1/2)*tanθ
に気づいてますが、

ANo.12、ANo.12 の「勘定」的答案では、
　α = arctan[ tan(θ)/2 ]
まで、けっこう手こずってます。

回答No.12

178-tall

ANo.11
　　↓
>(B) を利用して、
>　α= θ-β
>　　= θ- arctan[ tan(θ)/{ 2+tan^2(θ) } ]
>を得る。
　　　↑
…への蛇足。

上記算式にて、
　θ= arctan(tan(θ))
を代入すると、結局、
　α= θ-β
　　= arctan[ tan(θ) ] - arctan[ tan(θ)/{ 2+tan^2(θ) } ]
　　= … …
　　= arctan[ tan(θ)/2 ]
となってしまう。

お試しあれ。

回答No.11

178-tall

ANo.10 では、添付図の直線 OM の下半部分に着目し、長方形 PEDS が正方形 PQRS の半片である場合について、「作図」的答案をひねり出した。
さらに (1) へさかのぼってみると？

∠TOP = β = θ- α (つまり θ= α+β) として、
　　tan(α) = tan(θ-β)
　= { tan(θ)-tan(β) }/{ 1 + tan(θ)*tan(β) } = tan(θ)/2
ならば、
　tan(β) = tan(θ)/{ 2+tan^2(θ) }　　　…(B)
が成り立つ。

(B) を利用して、
　α= θ-β
　　= θ- arctan[ tan(θ)/{ 2+tan^2(θ) } ]
を得る。

回答No.10

178-tall

ANo.5 の錯誤を訂正。

https://multimedia.okwave.jp/image/answers/11/116985/116985.jpg
の図面にて、直線 OM の下方半分に着目。
線分 PQ の延長直線と OA の延長直線との交点を T とする。

長方形 PEDS が最大になるのは、|SP| = 2*|SD| のとき。

　　　　↓　訂正

長方形 PEDS が最大になるのは、|OD| = |DE| かつ |DE| = 2*|SD| のとき。
(⊿OSD を辺 SD にて下方に折り、⊿STP を辺 SP で右方に折り込むと、
長方形 PEDS にピッタリの寸法。　その前後では、折り込みが長方形
PEDS からはみ出す}

そのとき、
　tanα = 1/4　(α≒14.04 度)
　tanθ = 1/2　(θ≒26.57 度)

回答No.9

上野 尚人（@uenotakato）

>どこにも、∠POEとは書かれていないのですが。

失礼しました。
・はじめは「弧ABの中点としてMを定義し、OMが線対称の中心とわかった」ので、Mを用いて∠POMと記述した
・そのあとは、直角三角形POEに注目して考えたがその旨は省略してしまった
というのが正しい表現です。

回答No.8

上野 尚人（@uenotakato）

図を添付した者です。

>なぜ、∠POEではなく、∠POMなのでしょうか？

どちらでも同じですが、
・はじめは「弧ABの中点としてMを定義し、OMが線対称の中心とわかった」ので、Mを用いて∠POMと記述した
・そのあとは、直角三角形POEに注目するため∠POEと表記した
というくらいの理由です。

補足

どこにも、∠POEとは書かれていないのですが。
違いの点でしょうか？
教えていただけると幸いです。

回答No.7

178-tall

>なぜ、SOEは、直角三角形なのでしょうか？

引用図で、SOEは直角三角形じゃありませんネ。

回答No.6

上野 尚人（@uenotakato）

解答の書き間違いがありました（おもにDとEの書き間違い）ので図とともに書き直します。
ーーーー
弧ABの中点をMとすると、この図形は直線OMに関して線対称であり、OM//SP//RQである。
OMとPQの交点をE、OMとRSの交点をDとする。
∠POM=α より PE = sinα、PE = cosα
よって SD = PE = sinα であり、直角三角形OSDで考えて（∠SOD = θ）
SD = OD * tanθ より OD = sinα / tanθ
以上より
PQ = 2PE = 2sinα、PS = ED = OE - OD = cosα - sinα / tan θ
長方形PQRSの面積は
2sinα * ( cosα - sinα / tanθ )
（2倍角より）
= sin2α - (1 - cos2α) / tanθ
= sin2α + (1 / tanθ) cos2α - 1 / tanθ
= (1 / sinθ) (cos2αcosθ + sin2αsinθ) - 1 / tanθ
= (1 / sinθ) cos(2α-θ) - 1 / tanθ
sinθは正なので、これが最大になるのはcos(2α-θ)=1 のとき。
0<α<θ<π/2 より 2α-θ=0 のとき面積最大。
よって α = θ/2 …（1）の答

このとき長方形の面積は
1 / sinθ - 1 / tanθ = (1 - cosθ) / sinθ … （2）の答

θ = 2αのとき
PQ = 2sinα、PS = cosα - sinα / tan2α
これが等しいとき
2sinα = cosα - sinα / tan2α
sinα / tan2α = cosα - 2sinα
sinα / (sin2α / cos2α) = cosα - 2sinα
sinα * cos2α = (cosα - 2sinα) * sin2α
（両辺を sinα ≠ 0 で割って）
cos2α = (cosα - 2sinα) * 2cosα
cos2α = (1 + cos2α) - 2sin2α
sin2α = 1/2
αは鋭角なので α = π/12
よって θ = 2α = π/6 … （3）の答

補足

∠POEとOEでも良いのではないのでしょうか？もう一度ご確認していただけると幸いです。
なぜ、∠POEではなく、∠POMなのでしょうか？意味不明な点があれば教えていただけると幸いです。

回答No.5

178-tall

「題意」がややこしいので、まずは荒っぽい試算…。

https://multimedia.okwave.jp/image/answers/11/116985/116985.jpg
の図面にて、直線 OM の下方半分に着目します。

線分 PQ の延長直線と OA の延長直線との交点を T とする。
長方形 PEDS が最大になるのは、|SP| = 2*|SD| のとき。
(⊿OSD を辺 SD にて右方に折り、⊿STP を辺 SP で上方に折り込むと、
長方形 PEDS にピッタリ合う寸法。その前後では、折り込みが長方形
PEDS からはみ出す}

そのとき、
　tanα = 1/4　(α≒14.04 度)
　tanθ = 1/2　(θ≒26.57 度)
らしい。

補足

なぜ、SOEは、直角三角形なのでしょうか？教えていただけると幸いです。