三角不等式の問題（大学受験）

質問

現在、「三角不等式」の分野を勉強していますがわからない問題があります。これは大学受験用参考書に載っている問題です。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。

問題は
cosθ＋cos2θ＋cos3θ＜0、0度＜＝θ＜＝360度
を解けです。

解答は
（√2cosθ＋1）（√2cosθ－1）（2cosθ＋1）＜0
ゆえに
cosθ＜－1／√2または、－1／2＜cosθ＜1／√2
となっています。

私は、因数分解のところまではわかったのですが、その後の「ゆえに～」とどうして導くことができるのかわかりません。というのも、今回範囲が0度＜＝θ＜＝360度なので、
－1＜＝（2cosθ＋1）＜＝3
－√2＋1＜＝（√2cosθ＋1）＜＝√2＋1
－√2－1＜＝（√2cosθ－1）＜＝√2－1
となり、すべてが、－と＋両方の範囲を動くので、考えうるのは、次の(1)～(4)の4通りだと思います。
(1)3つの()ともがマイナスになる
(2)、(3)、(4)、3つの()のうちどこか1つのみマイナスになる
ですので、どうして、解答のようにすぐにしぼることができるのかわかりません。

私の勉強不足なのですが質問する人がいないため、困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。

回答No.1

graduate_student · ベストアンサー

まず，cosθ=xをおきましょう.
そうすると，xの範囲が-1<=x<=1となります.

つまり，
（√2x＋1）（√2x－1）（2x＋1）<0
ということになります.
ここで，
f(x)=（√2x＋1）（√2x－1）（2x＋1）…(*)として，
(*)の図を描いてみましょう.
3次関数のグラフになります.
x軸との交点は，
x=-1/√2,-1/2,1/√2（小さい順に）となります.
そうすると，f(x)が0より小さい範囲が出てきましたね.
その範囲は-1/√2よりも左側(x=-1まで.なぜなら，-1<=x<=1)と，-1/2と1/√2の間のはずです.
つまり，-1<=x<-1/√2,-1/2<x<1/√2
の範囲です.
最後はxをcosθに置き換えたらいいだけです.

とにかく数学は図と表を描きましょう.

お礼

graduate_student様、早速ご回答いただきありがとうございました。なるほどグラフを書くと一発ですね。あざやかに解けました。数学はグラフと表ですね。心がけてはいるのですが、ついつい忘れてしまいます。

夜中にもかかわらずさっそくご回答をいただきありがとうございました。