theもthatもあえて強調しない限り割とぞんざいに発音されるし別の方が回答されているように意味も大して変わらないことも多いので真剣に聞き取らなくても良いように思います。
thatは発音記号上は ðǽt ですがt は無声音なのとアクセントが無いので実際には聞こえません。その代わり、ðǽ と発音した後ほんのちょっとだタメがあります。日本語で言うと”ッ”。少しわき道にそれますが、日本語の”ッ”は外国人には難しく、テッパンとテパンの区別がつきにくいらしい。なぜならッは発音じゃなくて、テの後発声を止める微妙な間と言うかタメだから、それに気づくまで区別がつきにくいらしい。thatのタメも同じことなのです。ただthatの後に母音がくるとt と次の母音が結びついて(リエゾン)タメも無くなり違って聞こえる。
言ってみれば、
that boy [ðǽッ] boy
that is the boy [ðǽtiz] the boy
上のtizは力無く発音されるので日本語で言うとザリズの様に聞こえることが多いです。
the はもっとぞんざいに発音されるのでa と区別しにくい時すらありますが文脈的に判断できます。このtheを「例の」「まさに」の様に強調する場合はあえて[ði] ジ と発音します。