部分分数分解についての質問です。

質問

積分のために

　　1/(1-t^2)^2

を部分分数分解する必要があるのですが、どうすればいいのでしょう？

　　1/(1-t^2)^2 = 1/(1-t^2)(1-t^2) = 1/(1+t)(1-t)(1+t)(1-t).

　　1/(1+t)(1-t)(1+t)(1-t) = a/(1+t) + b/(1-t) + c/(1+t) + d/(1-t)

と仮定しても全然ダメです。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

1/(1-t^2)^2=a/(1-t)+b/(1-t)^2+c/(1+t)+d/(1+t)^2
として，(1-t^2)^2を掛けると
1=a(1-t)(1+t)^2+b(1+t)^2+c(1-t)^2(1+t)+d(1-t)^2
展開して
1=a(1+t-t^2-t^3)+b(1+2t+t^2)+c(1-t-t^2+t^3)+d(1-2t+t^2)
1=a+b+c+d+(a+2b-c-2d)t+(-a+b-c+d)t^2+(-a+c)t^3
これから
a+b+c+d=1
a+2b-c-2d=0
-a+b-c+d=0
-a+c=0
したがって
a=b=c=d=1/4

お礼

詳細な回答ありがとうございます。他の回答の方にもお礼申し上げます。

回答No.3

alain13juillet

(1-t^2)^2の因数、1-t,1+t,(1-t)^2,(1+t)^2の分母で式を立てるべきです。

回答No.2

178-tall

1/(1-t^2) を部分分数化して、
　1/(1-t^2) = (1/2)/(1+t) + (1/2)/(1-t)

これを二乗して、
　1/(1-t^2)^2 = { (1/2)/(1+t) + (1/2)/(1-t) }^2
　　　　　　　= (1/4)/(1+t)^2 + (1/2)/{ (1+t)(1-t) } + (1/4)/(1-t)^2

右辺の第 2 項を部分分数化して ( ↑ 冒頭式) 、
　(1/2)/{ (1+t)(1-t) } = (1/4)/(1+t) + (1/4)/(1-t)

… かな？