漸近線の導出

質問

5*x^2 - 6*x*y - 5*y^2 - 4*x + 2*y - 25 = 0
の漸近線の導出を詳しく記してください

回答No.2

staratras

5x^2-6xy-5y^2-4x+2y-25=0 …（１）
5y^2-2(1-3x)y-(5x^2-4x-25)=0 …（２）

（２）をyについて解くと、
y={(1-3x)±√(34x^2-26x-124)}/5　…（３）

これはy=〔{-3x±(√34)x(√(1-26/34ｘ-124/34x^2)}+1〕/5　と変形できて
√(1-26/34ｘ-124/34x^2)はxの絶対値が大きくなればなるほど限りなく1に近づくので漸近線の傾きは
{-3±√34}/5　(この2数の積は9-34/25＝-1　であり、この漸近線は直交する）　

ここで（３）の根号の中が負でないことが（１）の双曲線のグラフが存在できる条件であり、限界となる根号の中を0とするxの値を求めると
x=(13±√4385）/34　このときy=（-5∓3√4385）/170　（複合同順）

ここでこの2点をP,Qとすると、P,Qは双曲線の中心に対して対象の位置にあるから、PQの中点が双曲線の中心であり、これをMとするとM(13/34,-1/34）双曲線の中心は漸近線の交点だから2本の漸近線はいずれもMを通る。

したがって、漸近線の式は
y+1/34=(-3+√34)/5(ｘ-13/34）すなわちy=(-3+√34)x/5+1/5-(13√34/170)(紫色）と
y+1/34=(-3-√34)/5(ｘ-13/34）すなわちy=(-3-√34)x/5+1/5+(13√34/170)(赤色）

回答No.1

gamma1854

曲線　5*x^2 - 6*xy - 5*y^2 - 4x+2y - 25=0 ...(*)
と直線 y=mx+c.
が交わるとき、そのｘ座標は、
(5-6m-5m^2)x^2+(-6c-10mc+2m-4)x+(-5c^2+2c-25)=0.
の実数解。
それが無限遠であるとき、x=1/t とおいて、
(5-6m-5m^2)+(-6c-10mc+2m-4)*t+(-5c^2+2c-25)*t^2=0.
が t=0,(x=∞) を重解にもつから、
5-6m-5m^2＝-6c-10mc+2m-4＝０.
をみたすことになり、この解が求めるm, c です。