- ベストアンサー
フラクタルとは？数学の難解な理論をわかりやすく解説
- フラクタルとは、数学の分野で複雑で詳細な構造を持つ図形や関数のことです。一見するとカオスな形をしていることが多く、自己相似性や再帰的な性質を持っています。
- フラクタルは、自然界や人工物の中にも多く存在し、例えば雲の形や木の枝分かれ、海岸線の入り組みなどに見られます。その美しい形状や複雑性は、多くの研究者やアーティストにも魅力的なテーマとなっています。
- 一方で、フラクタルの理論はまだ完全に解明されていない部分もあります。そのため、数学的に厳密な定義や解釈が難しい場合もあります。しかし、小学生でも理解しやすい入門書や解説記事も多くありますので、興味を持った方はぜひ挑戦してみてください。
- みんなの回答 （10）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
＃１です。 質問者さん自身「私はがっちがっちの文系人間です」と断っておられるし、「だいたいフラクタルなんて考え変え方がぜったいにおかしいと思います」とかなり確信に近いものを持っておられるようなので、今までの回答に納得できていないんじゃないでしょうか。 質問は「小学生でもわかるくらい簡単に説明していただきたいのですが」でしたよね。回答を見渡すと、それに相当するものは見当たらないような気がします（私のも含めて・・・）。私的にはすごく納得の回答も多々あったんですが・・・。 結論としては「小学生にわかるようにフラクタルの理論を説明することは不可能です」（天才児は別ですけど）ということになるんじゃないですかねぇ（＝質問者さんはまだ納得してない）。 そもそも、「理論」と「現実」、哲学用語を使えば「形而上」と「形而下」の事象というものの区別は抽象思考の産物であり、小学生に理解できる代物ではありません。 フラクタルは「理論」の産物で「形而上」の事象です。プラトンで言うところの「イデア」です。これがわからなければ、究極的には質問者様が納得できる日はこないでしょう。 質問者様、以下に「形而上」の辞書の定義を記載しておきます。 「精神や本体など、形がなく通常の事物や現象のような感覚的経験を超えたもの。」
その他の回答 (9)
- pluto001
- ベストアンサー率18% (32/171)
私もそれほど詳しい者ではありませんが、NHKの番組などで何度かフラクタルについてふれられている番組をみました。 簡単にいうと雪の結晶や木の枝の生え方、葉の形など、一見複雑であったり、乱雑に並んで見えるものも、ある規則の繰り返しにより形が生成されているという話だと思います。 例えば、イラストレータでみか月模様を一つ作ります。みかずきの頂点を軸に90度づつ回転複製を四回すると、風車模様ができあがります。できあがった風車に対し、同じ事を繰り返します。それを何十回、何百回繰り返すと、複雑な模様が浮かび上がって来たりします。 上記は究めて単純な規則を例にしましたが、この規則にカオスなどを用いる事で、蝶の羽、葉の形など多くの自然界の模様や形が理論的に説明できたりするようです。
- he-goshite-
- ベストアンサー率23% (189/802)
No.６ 再登場です。 フラクタルな立体図形のサンプルが見られます。 ただし，理論的にどんなに拡大しても同じ図形というわけではなく，３レベルまでの自己相似形，ということですが， http://www.asahi.com/science/update/0107/001.html ところで，質問者さんからはその後何の反応も無いようですが，わかったのかまだ納得できないのか，はっきりしてもらいたいものです。
- yomo3
- ベストアンサー率32% (88/269)
ちょっと出遅れましたが、おもしろい質問なので、参加したくなりました。 他でもよく見られるのですが、フラクタルとカオス理論と混乱して使われているようです。 たとえば、#5の方の ＞フラクタルは簡単に言うと ＞「一定の法則で定義できないと思われていたものの新しい定義」だと考えられます。 というのは、間違いではありませんが、本来カオス理論の方の意味づけです。 元々フラクタルは「自己相似図形」として研究されていたモノです。 「自己相似」とは、その図形を拡大（縮小）すると、自分自身に重なる、ということです。 コッホ曲線（与えられた線分を三等分してそのまん中に正三角形をくっつける。くっつけた三角形の各辺に対して同様な作業をする。これを無限に繰り返す。というような曲線）などがその例ですが、これらを統括する数式があって、いくつかの定数に数値を入れると様々な自己相似曲線が描けます。 こういった図形を書くのは手書きではほとんど不可能といって良く、コンピュータの発達に伴って本格的に研究が進められました。 一方、フラクタルと別個に発展した理論にカオス理論というのがあって、自然界に起こる偶然と思われるような様々な出来事を数学的に理論化しようという試みとして発展しました。 単純な関数であっても、与えられる初期値が変わると非常に異なった値を取るものがあります。 この辺りがカオス理論の端緒です。 例えば、コンピュータの疑似乱数発生回路（関数）は、与えられた初期値に対して、乱数的に値を発生させ、次の値の種を作り出します。 純粋に数学的な処理をしているのですが、見かけはサイコロをころがしているようにでたらめな並びになります。 このフラクタルを突き詰めていくと、結局カオス理論に到達することがわかって、双方の交流が始まりました。 長くなりました。 えーと、「無限」とか「幅がない」だとか、イメージしにくいとは思いますが、ピタゴラスやユークリッドの昔から続いている、「考える葦」の悪い癖と思って諦めてください。慣れるしかないです。 ※円を無限に大きくすると直線になるという話のたとえ話。 #4の方と重複しますが、昔の人は地球が真っ平らだと思っていました。 ※「幅がない」直線の例。 折り紙の縁。
- he-goshite-
- ベストアンサー率23% (189/802)
>拡大してもずっと同じ形なんてことがあるはずがありません。ある形ができてたとしてた拡大していくとぜったい線になるはずです。自信があります。 たとえば，渦巻き形の図形をイメージしてください。その渦巻きは，中心に近づくにつれて，渦の円弧？の間隔が比例して狭くなる＝中心から遠ざかるにつれて円弧？の間隔が比例して広くなる という渦巻きです。（カタツムリや巻貝がこのイメージに近い形の渦巻きを持っています） この図形を拡大していくイメージを持ってください。 拡大しても線の太さは変えないでください。線はあくまでも線ですから（理論上は）太さはありません。 ほーら，何倍に拡大しても，図形は同じではありませんか！ 渦巻きの円弧？の間隔は，中心から一定の位置では拡大しても縮小しても以前と同じになっています。 拡大以前に中心から１cmの距離で円弧？の間隔が２mmだったとすると，そのとき，中心から５mmの位置では円弧？の間隔は１mmですね。それを２倍に拡大します。ほら！ ５mm→１cm，１mm→２mm です。図形を２倍に拡大してもそっくり同じ形をしているじゃありませんか。ｄ(^_^ )
- ymrs
- ベストアンサー率59% (121/203)
フラクタルは簡単に言うと 「一定の法則で定義できないと思われていたものの新しい定義」だと考えられます。 フラクタル定数とは、物のある一定の「デタラメさ加減」を決定する定数だと書いた書物もあります。 その有名なものの一つが海岸線です。 波打ち際の水の形状は数十ｃｍ単位の大きさを拡大して見ても、数メートル離れたところから見ても、数百メートル離れて見ても、 「同じ法則に従ってその形状は揺らいでいるように見え、どこをどの大きさで切り取ってもそのデタラメさ加減は同じ」というものです。 これと同じ現象は木の葉や、雲の形、などにも見られます。 -------------------------------------- つまりフラクタルは一見デタラメなような自然界の「揺らぎ」は実はある一定の法則に従って形成されているのではないか？と言うことを検証しようとする理論です。 それに近いものを理論的に創り上げたものがかの有名なコッホ曲線です。 これはどこを切り取っても同じ形を保っています。 そしてこの考えはあのフィボナッチ数列に通じます。 …2.3.5.8.13.21.34.56.… 左右の隣の数字との比率がどこを切り取ってもほぼ同じです。 「拡大してもずっと同じ形」というのはそういうことです。 フィボナッチ数列、黄金比、コッホ曲線…等のキーワードで検索してみると非常に面白いです。
- akira212
- ベストアンサー率24% (75/308)
アドバイスでもなんでもないのですが、きっと硬く考えすぎかなって、おもってカキコです。 ＞「円は、拡大していくといずれ直線になる」 自分の机の上は平面なので円は拡大しても円のままだとおもいますが。 こう考えてみてください。 日本から真っ直ぐブラジルまで線を引き。そのまま真っ直ぐ日本まで線を引いて見てください。 直線ですが、これは円でもあるのではないでしょうか？ その逆もありえるということではないでしょうか？ 数学は、小さいころから、公式・公式と硬いイメージがあると思いますが、もっと自由に考えてもいいのではないでしょうか。 無駄文すみません。
- neue_reich
- ベストアンサー率21% (138/647)
数学的には 点：大きさがない 線：幅がない という常識はずれな定義がされているので、その世界では フラクタルは存在し得ます。 （どれだけ拡大しても、線は線のままで太くなる事はない、 と思ってください） 現実世界ではこんなことはありえませんので、 イメージするのに時間がかかるかもしれません。 ちなみに、理論が解明されていない、というのは フォトニックフラクタルが電磁波を蓄積する理論の事で、 フラクタル自体は理論ではありません。 質問を見ると混同されているようですので、 よく記事を見てみてください。
お礼
ご回答ありがとうございます。 ＞点：大きさがない ＞線：幅がない そうなんですか、勉強になりました。 ＞現実世界ではこんなことはありえませんので、 ＞イメージするのに時間がかかるかもしれません。 んー難しいですねえ でもこういうことが重要なんでしょうね。 ＞ちなみに、理論が解明されていない、というのは ＞フォトニックフラクタルが電磁波を蓄積する理論の事＞で、フラクタル自体は理論ではありません。 そうなんですか、また勉強になりました。 数学はおもしろいですね。 アキレスと亀のはなしはなんとなーく言いたいことはわかったんですけどねｗ ありがとうございました！
- neKo_deux
- ベストアンサー率44% (5541/12319)
> 私はそんなわけはないと思います。 > 拡大してもかならず曲線であると思います。 では、その曲線をもう１回拡大してみてください。 さっきの曲線よりは曲がり方が直線に近づきますよね？ 曲がり方が違うので、同じ形でもありませんよね？ -- 例えば、円の面積の計算方法を習ったとき、 周の長さ＝２×円周率×半径 面積＝円周率×半径×半径 Wolfram Research Documentation Center - 円周率の計算 http://documents.wolfram.com/v5/Demos/Notebooks/CalculatingPi.ja.html こちらの図のように、赤と緑の三角形の面積を考えるような内容でしたでしょうか？ ここで、小さな扇形がいつまでも三角形になってくれないと、非常に都合が悪い事が起こります（＾＾
お礼
ご回答ありがとうございます。 ＞では、その曲線をもう１回拡大してみてください。 ＞さっきの曲線よりは曲がり方が直線に近づきますよね？ ＞曲がり方が違うので、同じ形でもありませんよね？ たしかに直線には近付いていく思います。 でも最終的（最終的はない？）に直線だとまずくないですか？ということは ∞角形＝円ということでしょうか？？ 参考サイトのパイはいつかはちゃんとした三角形になるのでしょうか？ 数学ってけっこう楽しいですねｗ ありがとうございました！
- daibutsuda
- ベストアンサー率34% (268/780)
専門家でもないし自信も無いのですが、「フラクタル」というもの自信は理論の産物だと思います。 ＞拡大してもかならず曲線であると思います。拡大していくと最終的に直線になるなら円にならないでしょう 「完璧な円を無限に拡大すると」という前書きが抜けてるんでしょうね。 実際には完璧な円など存在しませんし、無限に拡大する事も不可能です。完璧な円も、無限に拡大するということも、理論的にしかありえないわけです。で、理論的には「完璧な円を無限に拡大すると」⇒「線になる」という事でしょう。 ＞拡大してもずっと同じ形なんてことがあるはずがありません。ある形ができてたとしてた拡大していくとぜったい線になるはずです。自信があります。 これはたぶん逆だと思います。拡大してもずっと同じ形のものがフラクタルではありません。なにかフラクタルに対応するものが現実に存在し、それの定義を言っているのではないのです。 ・赤くて丸くてかじると甘い果物＝りんご、 じゃ無くて、 ・フラクタル＝拡大してもずっと同じ形を保っているもの と定義したわけです。 ・三角形＝３つの線分によって構成される閉じた多角形 と定義したのと同じ事です。 ポイントはあくまでこれらは理論の産物だということです。現実感覚ではかろうとすると、見誤ります。雪の結晶はフラクタルとか言いますが、厳密にはおっしゃるように無限に拡大したら水の分子になるわけで、フラクタルではありません。あくまで「フラクタルっぽい」だけです。
お礼
ご回答ありがとうございます。 「完璧な円など存在しません」「無限に拡大する事も不可能です」というのは大変、勉強になりました。 「現実感覚ではかろうとすると、見誤ります」なるほど。アキレスと亀の話しみたいなもんですよね？ぼんやりとはわかってきましたが、まだわからないところもあります。私の頭が固いのでしょうかｗありがとうございました！
お礼
ご回答ありがとうございます。 ＞日本から真っ直ぐブラジルまで線を引き。そのまま ＞真っ直ぐ日本まで線を引いて見てください。 ＞直線ですが、これは円でもあるのではないでしょうか？その逆もありえるということではないでしょうか？ わかりました。やっと理解できました。 そういうことだったんですね。 なるほど。 さらいろいろな疑問もでてきましたがｗ わかりやすご解説ありがとうございました！