方べきの定理をベクトルで証明

質問

2次方程式が重解を持つときの、代入さきがわからないので質問します。
OAベクトルはOA→。OA→=aとおくとき、aどうしの内積は(a,a)、またaの大きさを||a||と表します。お願いします。
円Oの外の点Aから円Oに引いた接線の接点をTとし、Aを通る任意の直線が円Oと交わる点をP、Qとすれば、AT^2=AP*AQ
証明、円の中心を原点Oとし、円の半径を1とすれば、円の方程式は(x,x)=1。→OA=aとおけば、(a,a)>1。Aを通る任意の直線x=a+tu(uはある一定のベクトル。tは任意の数)が円Oと交わる点P,Qとし、
→OP=p、→OQ=qとおけば、p=a+t_1u、q=a+t_2u、(p,p)=(q,q)=1 。このとき、t_1,t_2は次の２次方程式の解となります。
(a+tu,a+tu)=1⇒(u,u)t^2+2(a,u)t+(a,a)-1=0・・・（1）
解と係数の関係によって、t_1*t_2={(a,a)-1}/(u,u)・・・(2)
AP^2=(p-a,p-a)=(t_1u,t_1u)=(t_1)^2(u,u)、AQ^2=(q-a,q-a)=(t_2u,t_2u)=(t_2)^2(u,u)
これと(2)より AP*AQ=t_1*t_2(u,u)={(a,a)-1}/(u,u)*(u,u)=(a,a)-1
ここが分からないところです。Aから円Oに引いた接線ATは、上の２次方程式が重解を持つ場合で、AT^2=AT*AT=(a,a)-1よってAT^2=AP*AQ。と書かれていました。
自分は、(1)の方程式の重解を求めてt=-(a,u)/(u,u)
これをAT^2=(a+tu,a+tu)=(u,u)t^2+2(a,u)t+(a,a)に代入して、-{(a,u)^2}/(u,u)+(a,a)という結果になってしましました。図から三平方の定理で、AT^2=||a||^2-1^2=(a,a)-1というのは納得できましたが、２次方程式からAT^2を求める方法がわかりません。どなたか教えてくださいお願いします。

回答No.3

f272 · ベストアンサー

> から導いたでよいですか？

いろいろなやり方があるが，それでも良い。

> そうしたら、→OP＝→OA+→AP=a+t_1s(sはuとは違う直線の方向ベクトル)になる気がするのですが、この場合もｔについての2次方程式を解けば証明できますよね？

sとuとは方向が違うのでsについての2次方程式を解くことになるか，それはtについての2次方程式とまったく同じで未知数の名前を変えただけです。つまりtについての2次方程式を解けばよい。

お礼

補足へのお返事ありがとうございます。

回答No.5

178-tall

蛇足です。

問題中の２次方程式
　(u・u)*{ t^2 + [2(a・u)/(u・u)]t + [ (a・a)-1 ]/(u・u) = 0
が実根 t1, t2 をもつとき、解と係数の関係により、
　t1*t2 = [(a・a)-1]/(u・u)

重根のとき、つまり t1 = t2 = tのとき、
　t^2 = [(a・a)-1]/(u・u) = [(a・a)-1]/|u|^2
　|tu|^2 = AT^2 = [(a・a)-1]
　AT = √[(a・a)-1]

お礼

いろんな２次方程式の解の求め方を、おしえてくださりありがとうございます。

回答No.4

178-tall

横から口出し、蒙御免。
>t_1,t_2は次の２次方程式の解となります。
>(a+tu,a+tu)=1 ⇒ (u,u)t^2+2(a,u)t+(a,a)-1=0・・・（1）

a の内積を (a・a) と表す。

(1) を、
　(u・u)*{ t^2 + 2(a・u)t/(u・u) + (a・a)-1 } = 0
として、 {　} 内が二重根 t0 を持つと想定。[ つまり、(a・a)＞1 のケース ]

その場合には判別式 D = { (a・u)/(u・u) }^2 - { (a・a)-1 } = 0 が成立ち、
　t0 = (a・u)/(u・u) = √{ (a・a)-1 }
を得る。

お礼

判別式Dを因数分解して(a・u)/(u・u)に等しい値をみつけるんですね。
意外な計算に驚いています。お返事ありがとうございます。

回答No.2

kiha181-tubasa

この解答には誤りがあるようです。
→OP=p、→OQ=qとおけば、p=a+t_1u、q=a+t_2u、
この段階で、uは直線AP（とAQ)の方向ベクトルになります。
ところが、直線ATはAPやAQと方向が違いますので
「Aから円Oに引いた接線ATは、上の２次方程式が重解を持つ」
というのは誤りです。
いかなる実数tを持ってきても
→OT＝ a+tu　と表すことはできません。

お礼

2次方程式が、uを方向ベクトルに持つ場合の方程式である。ATはuを方向ベクトルに持たない。との指摘ありがとうございます。

回答No.1

f272

AT^2=(a+tu,a+tu)
はおかしいね。
AT^2=(tu,tu)
のはずです。これにt=-(a,u)/(u,u)を代入して，(a,u)^2=(u,u)((a,a)-1)を使えば，AT^2=(a,a)-1が導ける。

お礼

ベクトルの表現間違いと計算方法を教えてくださり、ありがとうございます。

補足

よろしければお返事ください。
(a+tu,a+tu)=1⇒(u,u)t^2+2(a,u)t+(a,a)-1=0　にt=-(a,u)/(u,u)を代入して、
(a,u)^2=(u,u)((a,a)-1)また、ATがtuは、→OA+→AT=a+tu、から導いたでよいですか？
そうしたら、→OP＝→OA+→AP=a+t_1s(sはuとは違う直線の方向ベクトル)になる気がするのですが、この場合もｔについての2次方程式を解けば証明できますよね？