Eulerの公式を導きたいのですが…。

質問

Eulerの公式：U＝TS－pV＋μNを求めようと思っています。

(1)　dU＝TdS－pdV＋μdNから、内部エネルギーUはS、V、Nを独立変数とする関数である。

(2)　U、S、V、Nは示量変数であるから、系のスケールをλ倍に変化させた時λU＝U（λS,λV,λN）が成立する。

　上の(1)・(2)を用いるとするのですが…。誠に恐縮ですが、どなたか御回答を御願い致します。

回答No.1

ElectricGamo · ベストアンサー

まず U=TS－pV＋μN は Eulerの公式ではありませんのでご注意を。

恐らくこれはEulerの公式を用いてUを求めなさいという問題でしょう。具体的には、m次同次 φ(λx_1,λx_2,...)=λ^mφ(x_1,x_2,..)なら、Σx_i (∂φ/∂x_i)=mφが成り立つことを利用するということです。

まず、(2)からλU＝U（λS,λV,λN）が成立するので、m=1とし、Σx_i (∂φ/∂x_i)=mφに当てはめると

　U=S(∂U/∂S)_{VN}+V(∂U/∂V)_{SN}+N(∂U/∂N)_{SV}

が成り立ちます。(1)から、(∂U/∂S)_{VN}=T, (∂U/∂V)_{SN}=-p, (∂U/∂N)_{SV}=μですので、これらを上の式に代入すると、

　U=TS-pV+μN

が得られます。

お礼

ありがとうございました。