∬1/√(x^2+y^2)dxdy を求めよ。

質問

∬1/√(x^2+y^2)dxdy を求めよ。
積分範囲は、1=<x^2+y^2=<4,x>=1,y>=0
次のようにやってみました。
∫[1->2]{∫[0->√(4-x^2)]1/√(x^2+y^2)dy}dx
=∫[1->2]{log(y+√(y^2+x^2)}[0->√(4-x^2)]dx
=∫[1->2]{log(√(4-x^2)+2)-logx)dx
となりました。ここからxについての積分ができません。
アドバイスをお願いします。

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

このような形の積分は極座標変換するのが一般的かと思います。

D={(x,y)|1≦x^2+y^2≦4,0≦x,0≦y}.

x=rsin(θ).
y=rcos(θ).

この変数変換のヤコビアンは、r。

dxdy=rdrdθ.
積分領域DはE={(r,θ)|1≦r≦2,0≦θ≦π/4}に変わる。

∬[D]dxdy/(x^2+y^2)
=∬[E]drdθ/r
=∫[0,π/4]dθ∫[1,2]dr/r}
=πlog(2)/4.

補足

積分の領域がドーナッツだったら、それで良いと
考えましたが、ドーナッツでなくてもいいのでしようか。
よろしくお願いします。