∬1/√(x^2+y^2) dxdy

質問

∬1/√(x^2+y^2) dxdy D:0≦x≦y≦1　
重積分する問題です。

y=xsinθで置換して考えると
∬1/cosθ　dθdxとなります。
これを計算していくととてもややこしくなってしまい、うまく解を求められません。

とても困っていますので解ける方は解き方を教えて頂きたいです。ちなみに答えはlog(1+√2)です。

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

与式 = ∫[0,1]dy ∫[0,y] dx/√(y^2 + x^2) ですから、

x = y*tanθとおくと
0≦x≦y から、0≦θ≦π/4、dx/dθ = y/(cosθ)^2
√(y^2 + x^2) = √{y^2 + y^2*(tanθ)^2} = y√{(tanθ)^2 + 1} = y/cosθ だから、

∫[0,y] dx/√(y^2 + x^2)
= ∫[0,π/4]{y/(cosθ)^2}dθ/{y/cosθ}
= ∫[0,π/4]dθ/cosθ

と、質問者さんの挙げられた式がでてきますが、y=x*sinθって、タイプミス？

ここで、cosθを、分子・分母にかけると、
∫[0,π/4]dθ/cosθ= ∫[0,π/4]cosθdθ/(cosθ)^2

sinθ = t とおくと、tの範囲は、0～1/√2、
dt/dθ = cosθより、dt = cosθdθ
(cosθ)^2 = 1 - (sinθ)^2 = 1 - t^2 なので、
∫[0,π/4]cosθdθ/(cosθ)^2
= ∫[0,1/√2]dt/(1-t^2) = ∫[0,1/√2]dt/(1-t)(1+t)
= ∫[0,1/√2](1/2){1/(1-t) + 1/(1+t)}dt
= (1/2)[-log(1-t) + log(1+t]_[0,1/√2]
= (1/2)[log{(1+t)/(1-t)]_[0,1/√2]

ここで、(1 + 1/√2)/(1 - 1/√2) = (√2 + 1)/(√2 - 1) = (√2+1)^2 なので、
(1/2)[log{(1+t)/(1-t)]_[0,1/√2] = log(√2 + 1)

よって、∫[0,1]dy ∫[0,y] dx/√(y^2 + x^2)
= ∫[0,1]dy ∫[0,y] dx/√(y^2 + x^2)
= log(√2 + 1) * [y]_[0,1] = log(√2 + 1)

となります。

高校生向きに、丁寧に書いたので、手順長めですが、大学生なら、あちこち端折れるはず、
がんばってください。

補足

早速詳しい解説ありがとうございます。
本当に助かりました(^^)/

あとy=xsinθはタイプミスで、y=xtanθでした。