2点z1=3-6i、z2=1+5iとする。辺z1z

質問

2点z1=3-6i、z2=1+5iとする。辺z1z2を底辺とし、他の二辺が等しい2等辺三角形z1z2z3の高さが√10となるようにz3を求めなさい。

これの解き方を教えて下さい。

高さが√10ということと、二辺が等しいことを使って連立方程式をたてようとしましたがうまくいきませんでした。

回答No.4

staratras · ベストアンサー

No.2の回答の中で、z1'とz2'を逆に書いていました。失礼しました。

「Oz3'とOz1'のなす角は直角だから」も
「Oz3'とOz2'のなす角は直角だから」が正しいです。（No.3の図は正しい）

回答No.3

staratras

No.2の参考図です。

回答No.2

staratras

No.1です。No.1の解法は連立方程式を解く計算がやや面倒なのと、あまり複素数っぽくないので、別解をかんがえました。

まず、準備段階として、z1とz2の中点(2-1/2i)が複素平面の原点と一致するよう平行移動します。
実軸方向に-2、虚軸方向に+1/2移動するのでz1'=-1+(11/2)i,z2'=1-(11/2)i　となります。

これを極表示するとz1'=(5√5/2)（cosα+isinα) となります。ただし、cosα=-2√5/25、sinα=11√5/25

ここでz1'z2'を底辺とする2等辺三角形の頂点をz3'とすると、この三角形の高さが√10だから、z3'=±√10(cosθ+isinθ）と置けます。

Oz3'とOz1'のなす角は直角だから
cosθ=cos(α-π/2)=sinα=11√5/25
sinθ=sin(α-π/2)=-cosα=2√5/25

したがってz3'=±√10(11√5/25+2√5/25i）=±（11√2/5+(5√2/5)i)

元に戻す（実軸方向に+2、虚軸方向に-1/2移動する）と、
z3=2+(11√2)/5+{(2√2)/5-(1/2)}i
z3=2-(11√2)/5+{(-2√2)/5-(1/2)}i

回答No.1

staratras

z1とz２を結ぶ線分を底辺とする２等辺三角形の頂点z３は、「z1とz２の中点を通り、z1とz２を結ぶ線分に垂直な直線」の上にあります。

z1とz2の中点をzmとすると、zm=2-1/2iで、z1とz2を結ぶ線分の傾きは-11/2だから、
x,yを実数としてz3=x+yiとすると、y+1/2=2/11(x-2)で、これを整理すると、
y=（2/11）x-19/22 …（１）
またz3はzmからの距離が√10なので、(x-2)^2+(y+1/2)^2=10 …（２）
（１）と（２）を連立させて解くと、次の2組の解が得られます。これが答えです。

(x,y)=(2+(11√2)/5,(2√2)/5-(1/2))
(x,y)=(2-(11√2)/5,(-2√2)/5-(1/2))

z3=2+(11√2)/5＋｛(2√2)/5-(1/2)}i、または、z3=2-(11√2)/5＋{(-2√2)/5-(1/2)}i