三角形の辺の長さ

質問

ある二等辺三角形があり、底辺の長さがｄ、頂角が45°だとします。
この三角形の斜辺の長さを知りたいのですが、どうすれば求まるのでしょうか？
教えてください。

回答No.5

gamasan · ベストアンサー

普通　頂角というのは　この場合２等辺に挟まれた
角のことを言いますから　1：1：√2
これは直角２等辺三角形のことですから
全く外れています。

頂角から垂線で二つに分けた図形を書いてみてください
NO２さんの回答をお借りして
sinア　というのは　高さ÷斜辺
cosア　というのは　ｄ/2÷斜辺
これで　求まりませんか？

お礼

確かに「cosア = 斜辺÷ｄ/2」というのを使えばあっという間に求まりますね。なぜにきずかなかったんだろう…。ありがとうございます。

回答No.8

noname#7868

どの段階で引っかかったのかわかりませんが・・・

（(1)）三角関数表を使わずに、三角比の性質を利用して、
計算だけで求めようとしたが、分母が二重根号になって
しまい、有理化ができなかった、ということなら、
まず、斜辺の２乗を求めます。
この分母は有理化できます。
そのあとで斜辺を求めれば、分母は有理化できます。
ただし、分子の二重根号ははずれません。

（(2)）上の段階に行く前につまづいた場合
三平方の定理を利用する方法と、三角比を利用する方法が考えられます。

(1)三平方の定理を利用する場合

三角形ABCにおいて、角A＝４５度、AB＝AC＝x、BC＝d、
BからACに引いた垂線の足をHとします。
三角形AHBは角H＝９０度の直角二等辺三角形だから、
AH＝BH＝（１/ルート２）x
CH＝xー（１/ルート２）x
ここで、直角三角形BHCに三平方の定理を当てはめる。

(2)三角比を利用する場合

上の三角形ABCで、AからBCに引いた垂線の足をHとする。
直角三角形AHBで、三角比の定義から、
sin（角BAH）＝ BH/AB　だから
sin（45°/２）＝（d/２）/ｘ

この考え方が一番単純だろうと思いますが、三角関数表を
利用しない場合は、（(1)）で書いたように、計算の途中で
分母に二重根号が出てきます。

こんなものでいかがでしょうか？

お礼

簡潔にまとめていただきありがとうございました。結構いろんな方法があるんですね。

回答No.7

noname#40123

#3ですけれど、一部間違った説明していましたので訂正します。
＞二等辺三角形は、一つの角が90度で、２つの辺の長さが同じと言う条件があるときに出来る三角形です。
上の説明間違っていました。

これは、「直角二等辺三角形」の時に成立する話でした。
改めて、
二等辺三角形は、一つの辺に接する相対する角が同じ角度の時に、２つの辺の長さが同じ三角形の事でした。

三角形の内角の全部を足すと、180度になるので、１つの内角の大きさ（頂角）が45度とわかっています。
ですから、まずは、残りの三角形の内角の大きさを出してください。

式としては
180（三角形の内角の総和）－45（頂角）＝135（残りの三角形の内角）

二等辺三角形として成り立つのには、一つの辺に接する内角が同じ大きさにならないと、成り立たないので、
頂角と同じ大きさか、別の内角の大きさと同じにならないと、二等辺三角形は出来ません。

と言うことは、頂角＝もう一つの内角であれば、二等辺三角形が成立するするのですから、
残りの内角の大きさが、計算で出ます。

では、そのときに出来た二等辺三角形が、#1の方の説明にあった「三平方の定理」が成立するかを、証明すると答えが出ます。

回答No.6

tacky-express

これは「第1余弦定理」を使えば良いんじゃないでしょうか？
三角形の各辺をa,b,cとし、それと向かい合う角をA,B,Cとします。
ここで以下が成立です。
C=a*cosB+b*cosA
この簡単な証明は図形を考えて、点cから辺ABに垂線を下ろせばすぐわかりますね。
この問題では、角BとAが同じであり、三角関数半角公式を使えば判ると思います。

お礼

第1余弦定理なんてのもありましたね。全く度忘れしていました。ありがとうございます。

回答No.4

kony0

2重根号が扱えれば、三角関数なしでも解けます。

頂点A、底辺BCとします。

線分AC上に、∠ABD＝45度となる点Dをとります。
線分BD上に、∠DCE＝45度となる点Eをとります。

直角二等辺三角形が２つできていることに注目して、△BCDで三平方の定理を適用すると・・・

お礼

無事に解決できました。ありがとうございます。

回答No.3

noname#40123

三角形の辺の長さを求める公式は
直角三角形の場合には1：2：√3で、二等辺三角形だと、1：1：√2の比率になっています。

また、三角形の内角の総和が180度でしょ。
一つの角が、45度であれば、残りは、135度です。

二等辺三角形は、一つの角が90度で、２つの辺の長さが同じと言う条件があるときに出来る三角形です。
残り135度から90度（直角）を引くと、45度です。

これらが成立しているのであれば、底辺の長さ（d）と
垂直の線の長さも、同じです。
それから、考えてみてください。

お礼

無事に解決しました。ありがとうございました。

回答No.2

kurobe3463

頂角45°ならば底角は＿＿ア＿＿
正弦定理により d÷sin45°＝斜辺÷sinア
よって斜辺＝d sinア÷sin45°

お礼

正弦定理ですね！すっかり度忘れしていました。これだと一発ででます。ありがとうございます。

回答No.1

shinkun0114

頂角が45°の二等辺三角形は、直角二等辺三角形ですよね。
三平方の定理が使えるはずですよ。

お礼

すみません。問題の書き方がおかしかったですね。角度が45度、67.5度、67.5度の二等辺三角形です。直角二等辺三角形ではありません。