二等辺三角形の底辺の長さを弦、辺a＋辺bの長さを弧とした場合の高さの求

質問

二等辺三角形の底辺の長さを弦、辺a＋辺bの長さを弧とした場合の高さの求め方を教えてください。ペーパークラフト作りの為です。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

久しぶりに楽しい問題に出会いました。

底辺の長さも測れるものとします。これをｃとします。
円この半径をｒ、中心角を2ｔとすると
２辺の和が円弧になるので
a+b=2tr (1)
円の中心をO,底辺の両端をA,Bとすると?OABにおいて
c=2rsint (2)

(1)/(2)より

sint/t=c/(a+b)

この右辺はa,b,cが解っているので既知、これをpとおく。すなわち

sint/t=p (3)

この問題の面白いところはこれが解析的には解けないところです。

ではどうするか。もちろん近似計算。
近似計算とバカにしてはいけません。十分な精度で答えが出ればものは作れるのです。
方法はテーラー展開

sint=t-t^3/6+t^5/120-....　　(4)
正しくは無限に続きますが、５次の項まで取ります。

(4)を(3)に代入して整理すると

t^4-20t^2+120(1-p)=0

これはｔ^2に関する２次方程式、よって解けて
t^2=10-√(120p-20)
t=√(10-√(120p-20))

精度の確認のための例題
a=50, b=35, c=75 のとき
p=0.882353
t=0.8556646
sint=0.75522323
sint/t=0.8827172

(3)よりこれはp=0.882353に等しいはず。３桁まであってます。

tが決まれば(1)より
r=(a+b)/2t (5)

r,tが決まれば求める高さｈは
h=r-rcost (6)

先ほどの例題では
r=(a+b)/2t=85/(2×0.8556646)=49.669
cost=√(1-sint^2)=√(1-0.75522323^2)=0.655467675
h=49.669-49.669×0.655467675=17.1126

お礼

ありがとうございます。回答が高度なので理解できません。なので検証も出来ません。xy平面上で、原点を中心とする円を使って三角関数で答えが導き出せるのかなーと思っていました。

回答No.2

nattocurry

二等辺の一辺の長さをa、底辺の長さの半分をcとします。
角度を弧度法で表す(直角をπ/2)として、弧の半径をrとすると、
r*sin(a/r) = c
となります。

これから、rをaとcで表すことが出来れば良いのですが、残念ながら、私には解りません・・・

何らかの方法で、rをaとcで表すことが出来たとして、

求める高さをhとすると、

r^2 = c^2 + (r-h)^2
が成り立ちます。
(r-h)^2 = r^2 - c^2
r-h = √(r^2 - c^2)
h = r - √(r^2 - c^2)

ということで、

r*sin(a/r) = c
でrを求めて、求めたrと、底辺の長さの半分cを、
h = r - √(r^2 - c^2)
に代入すれば、hを求められます。
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問題は、rをどうやって求めるかですねぇ・・・