証明願います

質問

Tan[β] = ((7 Sqrt[5])/3)/(14/3), Cos[α] = -(1/9)
　となる　β,α には　α=2*β なる　関係が在ることがある。
　 と　云う。　此れを　証明願います;

回答No.2

178-tall

>tan[β] = { (7√[5])/3 }/(14/3)
　　　↓ = √[5]/2　；第一象限に想定
単位円における角βの点 (x, y ) = (x, √[1-x^2] )
　tan(β) = y/x
　= √[1-x^2]/x = √[5]/2
　　　　↓
　[1-x^2]/x^2 = 5/4
　1 = (9/4)x^2
　x = 2/3 = cosβ
y= √[1-x^2] は？
　y = √[1-x^2] = √[5]/3 = sinβ

>cos[α] = -(1/9)
　　　↓ 第二象限に想定
　sin(α) = √[1-(1/9)^2] = √[80/9^2] = √[80]/9 = 4*√[5]/9

ここで、参考 URL を参照。
　　↓　加法定理の証明 / コサインマイナスの証明
　cos(α-β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)
なる「加法公式」へ上記値を代入して、
　cos(α-β) = (-1/9)(2/3) + (4*√[5]/9))√[5]/3)
　= -2/27 + 20/27 = 18/27 = 2/3 = cosβ
つまり、
　α - β = β
　α = 2β

… 以上、「βがαの整数倍」か否か、判定可能。

参考URL：

https://mathtrain.jp/kahouteiri

回答No.1

f272

tan[β] = ((7 Sqrt[5])/3)/(14/3) = Sqrt[5]/2
で
cos[2β]=(1-(tan[β])^2)/(1+(tan[β])^2)=-1/9
だから