数学で困ってます！

質問

cos(α+β)cos(α-β)＝cos2乗α-sin2乗β
の証明の仕方を教えてください！
また、tan2乗α/2＝1-cosα/1+cosα
の証明の仕方もお願いします！

回答No.2

info222_

左辺=cos(α+β)cos(α-β)=(cosα cosβ-sinα sinβ)(cosα cosβ+sinα sinβ)
=cos^2 α cos^2 β -sin^2 α sin^2 β
=(1-sin^2 α)(1-sin^2 β) -sin^2 α sin^2 β
=1-sin^2 α -sin^2 β
=cos^2 α -sin^2 β=右辺
(証明終り)

左辺=tan^2(α/2)=sin^2(α/2)/cos^2(α/2) ← 公式 tanA=sinA/cosB を使用
＝{(1-cosα)/2}/{(1+cosα)/2]　←2倍角の公式を使用
＝(1-cosα)/(1+cosα)　←　分子、分母を2倍
=右辺
(証明終り)

回答No.1

bran111

>cos(α+β)cos(α-β)＝cos^2α-sin^2β

積の公式
cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)}/2 (1)
を使う。証明は右辺を加法定理で展開すれば一目瞭然。
A=α+β, B=α-βとおくと
cos(α+β)cos(α-β)=[cos(2α)+cos(2β)}/2 (2)
倍角公式より
cos(2α)=2cos^2α-1
cos(2β)=1-2sin^2β
これらを(2)に代入
cos(α+β)cos(α-β)＝[2cos^2α-1+1-2sin^2β]/2=cos^2α-sin^2β

>tan^2(α/2)＝(1-cosα)/(1+cosα)

tan^2(α/2)=[sin^2(α/2)]/[cos^2(α/2)]
倍角公式
cos^2x=[1+cos(2x)]/2
sin^2x=[1-cos(2x)]/2
を使う。x=α/2
tan^2(α/2)=[sin^2(α/2)]/[cos^2(α/2)]=(1-cosα)/(1+cosα)