証明問題をお願いします

質問

sin(x)＋sin(3x)＋sin(5x)＋.....sin((2n-1)x) ÷
cos(x)＋cos(3x)＋cos(5x)＋.....cos((2n-1)x)＝
tan(nx)

の証明をお願いします。

回答No.3

Rossana · ベストアンサー

[証明]

{Σsin((2k-1)x)}÷{Σcos((2k-1)x)}
=[Σ{sin((2k-1)x)cos(nx)}]
÷[Σ{cos((2k-1)x)sin(nx)}]×tan(nx)

(∵tan(nx)=sin(nx)/cos(nx))

=[(1/2)×Σ{sin((2k-1+n)x)+sin((2k-1-n)x)}]
÷[(1/2)×Σ{sin((2k-1+n)x)-sin((2k-1-n)x)}]

(∵積→和の公式)

=[Σ{sin((2k-1+n)x)}+sin(1-n)x+sin(3-n)x+・・・
　　　　・・・+sin(-x)+sin(0x)+sin(x)+・・・
　　　　・・・+sin(n-3)x+sin(n-1)x]
÷[Σ{sin((2k-1+n)x)}-sin(1-n)x-sin(3-n)x+・・・
　　　　・・・-sin(-x)-sin(0x)-sin(x)-・・・
　　　　・・・-sin(n-3)x-sin(n-1)x]×tan(nx)

(∵Σを分配＆片方を具体化)

=[Σ{sin((2k-1+n)x)}-sin(n-1)x-sin(n-3)x-・・・
　　　　・・・-sin(x)+sin(0x)+sin(x)+・・・
　　　　・・・+sin(n-3)x+sin(n-1)x]
÷[Σ{sin((2k-1+n)x)}+sin(n-1)x+sin(n-3)x+・・・
　　　　・・・+sin(x)+sin(0x)-sin(x)-・・・
　　　　・・・-sin(n-3)x-sin(n-1)x]×tan(nx)

(∵sin(－θ)=-sinθ＆等しいものの±打ち消し＆sin0=0)

==[Σ{sin((2k-1+n)x)}]
÷[Σ{sin((2k-1+n)x)}]×tan(nx)
=tan(nx)
　　　　　　　　　　　　　[証明終了]

お礼

理解できました。詳しい説明ありがとうございます。

回答No.2

wolv

宿題？ 自分でやりましょう．

tanの加法定理と数学的帰納法を組み合わせればできるような気がします．

お礼

宿題ではないのですが、急いでいたもので。質問に返事くれただけでもうれしいです。ありがとうございます。

回答No.1

nubou

sin(x)＋sin(3x)＋sin(5x)＋.....sin((2n-1)x)
にｃｏｓ（ｎ・ｘ）をかけ各項の積を和に直し
cos(x)＋cos(3x)＋cos(5x)＋.....cos((2n-1)x)
にｓｉｎ（ｎ・ｘ）をかけ各項の積を和に直し
両者を比較してみてください

お礼

ありがとうございました、助かりました。