部分空間についての質問です

質問

K³の部分空間 W₁ ={(a₁a₂a₃)│a₁ = a₂ = a₃}と W₂={(b₁b₂b₃)│b₁+ b₂+ b₃= 0}が与えられたとき、K³= W₁+ W₂ (直和) となる事を証明せよ。
この問題が分かりません…

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

K^3の部分空間 W_1={(a,a,a)|a∈K}と W_2={(b_1,b_2,b_3)|b_1+b_2+b_3=0}
任意の
(a_1,a_2,a_3)∈K^3
に対して
a=(a_1+a_2+a_3)/3
b_1=(2a_1-a_2-a_3)/3
b_2=(2a_2-a_1-a_3)/3
b_3=(2a_3-a_1-a_2)/3
とすると
(a,a,a)+(b_1,b_2,b_3)=(a+b_1,a+b_2,a+b_3)=(a_1,a_2,a_3)
だから
(a_1,a_2,a_3)=(a,a,a)+(b_1,b_2,b_3)

b_1+b_2+b_3=(2a_1-a_2-a_3)/3+(2a_2-a_1-a_3)/3+(2a_3-a_1-a_2)/3=0
だから
(b_1,b_2,b_3)∈W_2
(a,a,a)∈W_1
だから
(a_1,a_2,a_3)=(a,a,a)+(b_1,b_2,b_3)∈W_1+W_2

(a_1,a_2,a_3)∈W_1∩W_2
とすると
a_1=a_2=a_3
a_1+a_2+a_3=3a_1=0
だから
a_1=a_2=a_3=0
だから
(a_1,a_2,a_3)=(0,0,0)
だから
W_1∩W_2={(0,0,0)}
だから
K^3=W_1+W_2(直和)
となる

お礼

ありがとうございます！