部分ベクトル空間

質問

AをK成分のm×n行列とする。
W={x∈(K^n)|Ax=0}とおくとき、WがK^nの部分ベクトル空間であることを示せ。

という問題なんですが、
部分ベクトル空間が成り立つ条件として、
(i)0∈W
(ii)x_1,x_2∈Wならばx_1+x_2∈W
(iii)x∈W,a∈Kならばax∈W
があり、この3つが成り立つことを言えばいい。

(i)a・0=0
(ii)ax_1+ax_2=0+0=0
(iii)a・ax=a・0=0

これで良いのでしょうか？m×n行列なので、やはり違うのでしょうか？
何かヒントやアドバイスなど頂けると助かります。
よろしくお願いします。

回答No.1

R-gray · ベストアンサー

(ii)
x∈W,y∈Wのとき
A(x+y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0.よってx+y∈W.

(iii)
x∈W,c∈Kならば
A(cx) = cAx = c・0 = 0.よってcx∈W.

補足

回答ありがとうございます。
Aとaを分けていませんでした。すみません！
正しくは、
(i)0=0
(ii)Ax_1+Ax_2=0+0=0
(iii)a・Ax=a・0=0
です。

(i)はこれでいいのでしょうか？
m×n行列はとくに気にしなくてもいいのでしょうか？

回答No.6

koko_u_

わりぃ、わりぃ。A は行列でしたね。W と勘違いしたよ。
場合分けの必要はありません。

(i) の条件と、 A = 0 (すべての成分がゼロ)の可能性とは無関係です。

お礼

行列の場合は必要ないんですね、わかりました。

ありがとうございました！

回答No.5

koko_u_

>(i)で、A=0という可能性もあるんじゃないかと思うのですが、
>それは関係ないのでしょうか？

A = {0} ( 要素が 0 のみ ) という意味？
これはアリです。

「0 だけを持つ」のと、「全く持たない」のとは違います。

補足

では、(i)で、A={0}のときと、A≠{0}のときを考えるべきなんですね。

A={0}のとき
0・0=0
A≠{0}のとき
A・0=0

ということでいいんですか？

回答No.4

koko_u_

>線型部分空間であるためには別に
>0∈Wはいらないと思いますが、、、。

それがないと、W が空集合である可能性を排除できないんだよ。

補足

回答ありがとうございます。
(i)がないとダメなんですね。

(i)で、A=0という可能性もあるんじゃないかと思うのですが、それは関係ないのでしょうか？

回答No.3

R-gray

ANo.1ですが、、、
線型部分空間であるためには別に
0∈Wはいらないと思いますが、、、。
(ii)(iii)がいえれば終わりです。

ただとりあえず0∈Wには実際なっていて、
それを示すのは
A・0=0よって0∈W
で終わりですね。

お礼

参考にさせていただきました。
ありがとうございました！

回答No.2

koko_u_

>(i)a・0=0
>(ii)ax_1+ax_2=0+0=0
>(iii)a・ax=a・0=0
>
>これで良いのでしょうか？

a って何？

補足

回答ありがとうございます。
すみません、正しくはこちらです！
(i)0=0
(ii)Ax_1+Ax_2=0+0=0
(iii)a・Ax=a・0=0

aはa∈K(Kは実数、有理数、複素数のいずれかをさす）です。