確率の問題です

質問

ある商品を買った時には1/5の確率で景品が入っている。この商品を4個買った時、3個の景品が入っている確率を求める問題です。答えは、(1/5)^3(4/5)×4C3となるのでしょうが、商品が20個の場合、景品が4個、景品ナシが16個あるので、4C3×16C1 / 20C4とすると答えが違ってきます。どこがおかしいのでしょうか。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

商品が20個で、景品が4個、景品ナシが16個ある場合
1個目に景品が入っている確率は4/20=1/5ですが,
1個目に景品が入っていた後の
2個目に景品が入っている確率は(1/5)ではなく
3/19
になり
1個目に景品ナシの後の
2個目に景品が入っている確率は(1/5)ではなく
4/19
になり
2個目に景品が入っている確率は1/5ではありません

お礼

追加コメント有難うございます。

2項分布の問題であることがわかりました。

補足

教科書の答えは、(1/5)^3(4/5)×4C3 = 16/625ですが。

回答No.4

jcpmutura

教科書の問題は
問1
「
内蔵コンピュータが0～4の各数字の発生確率が1/5の乱数を発生し
0～3が発生した時は景品ナシ商品が出て
1/5の確率で4が発生した時だけ景品が入っている商品が出る
ようにプログラム制御された自動販売機がある
この自動販売機でこの商品を買った時、
3個の景品が入っている確率は？
」
でその答えは
(1/5)^3(4/5)×4C3 = 16/625
となりますが、
問2
「
景品が入っている商品が4個と
景品ナシ商品が16個
の合計20個の商品が乱雑に並んでいて、
その中から4個の商品を適当に選んで買った時、
3個の景品が入っている確率は？
」
という問題の答えは
4C3×16C1/20C4
となります
問題が違うので答えも違います。

回答No.3

staratras

>どこがおかしいのでしょうか。

別におかしくはありません。前半の解答は、何個購入するか、またそのうち何個が「景品入り」だったかにかかわりなく「「景品入り」の確率は1/5で変わらない」ということを前提にしていますが、後半の解答は「商品は20個、このうち景品入りは4個しかない」ということを前提にしていますので、仮に最初に買った商品が景品入りであれば、2個目が景品入りである確率は1/5(=４/20)ではなく3/19に低下しています。答えが一致しないのは当然です。

具体的に商品の数を200個、２０００個、2万個…と増やしていけば、興味深い結果が得られます。商品の個数を多くすればするほど前半の解答の結果、
(1/5)^3×(4/5)×4C3＝0.0256に近づいていきます。

回答No.2

marukajiri

「ある商品を買った時には1/5の確率で景品が入っている」これが正確に成り立つ為には、景品入りを取られた時には、そのままだと確率が低くなってしまうので景品入りの商品を一つ補充して確率を1/5になるように調整し、景品無しを取られた時には、そのままだと確率が高くなってしまうので景品無しの商品を一つ補充して確率を1/5になるように調整するということが必要になると思います。そうでなければ「ある商品を買った時には1/5の確率で景品が入っている」という状態にはならないでしょう。もしくは、商品数の数が膨大であるため、景品の入っている確率をほぼ1/5とみなしてよい場合は、景品の確率を1/5と考えて計算することができると思ってよいのでしょう。

自分勝手に２０個と個数を決め、当たる確率が変動するような状況を作っておいて、「当たる確率は1/5だ」とウソをついてごまかしているので、正確な計算をした場合には、当然のことながら当初の問題の答えとは違ってくるのは、当然のことなのです。ちなみに２０個の場合だと景品の入った商品を取るごとに、その当たる確率は1/5よりも小さくなっていきます。

補足

marukajiri様
”「当たる確率は1/5だ」とウソをついてごまかしていることになる”了解しました。