確率の問題

質問

ストラックアウトについての問題なのですが、
3*3の９マスあって、１球投げると、必ず９マスのどれかを通るとする。
ただし同じマスを２回通っても重複カウントはしない。

この場合、9！　/9^9＝0.000104・・・
約0.1%となると思うのですが、

持ち球が１２球の場合はどうなるのでしょうか。

12C9＝12C3=660
1/660＝0.001515
約1.5%

この答えはあっていますでしょうか？
またあっているとすると、何故3球増えただけで確率が15倍にもなるのでしょうか？
友人から聞かれたのですが、わからないのです。

回答No.3

kumipapa · ベストアンサー

分からなければ地道に計算することが必要です。
９枚抜きを達成した時点でゲームは終了します。
それから、9球で達成する確率を 9! / 9^9 とするのは、どの番号へもボールが行く確率は等しく 1/9 である場合ですから、現実とは相当異なりますので、その点は予め了承してください。

結論を先に出しますと、持ち球 9 個で 9 枚抜きを達成する確率は　9! / 9^9 ≒ 0.000937 でおよそ 0.1 % です。質問者さんのは計算間違いだと思いますから、再度計算してみてください。そして、持ち球 12 個で 9 枚抜きを達成する確率はおよそ 2.86 % です。文学的な表現に敢えて付き合うと、およそ 30 倍の確率になります。何故こんなに確率が大きくなるか？ですが、持ち球 9 球で達成する確率は極めて低いのですが、9 球目を終えた時点で、「惜しいなー、あと２～３球あれば 9 枚抜きできそうなのに」という確率が高く、かつ、10～12球目で実際に 9 枚抜きを達成できる確率がそれなりに高いからです。例えば、9球を投げ終えて1枚が残っている確率は、
9 Ｃ 8 × 8 Ｃ 1 × 9! / (2! × 9^9) = 36 × 9! / 9^9
ですので、9球を投げて 1 枚残す確率は 9枚抜きをする確率の 36 倍。その36倍の場合の数に対して、次の１球によって 1/9 の確率で 9 枚抜きを達成できるのだから、36 × 1/9 = 4 倍の確率をゲット。さらに、10球目を失敗する確率が8/9 だから、11 球目に9枚抜きを達成する確率は 36 × 8/9 × 1/9 ≒ 3.6 なので、さらに 3.6 倍の確率をゲット。そして、11球目を失敗する確率は 8/9 で、12球目に9枚抜きを達成する確率は 36 × (8/9)^2 × 1/9 ≒ 3.16 なので、9球目に１枚残して、10球目から12球目で9枚抜きに成功する確率は、9 球で9枚抜きを達成する確率の10倍以上になる。このようにして、9球目までに2枚残っている場合、3枚残っている場合をすべて考慮すると、持ち玉9球よりも12球の方が確率が非常に大きくなるということです。

実際の確率の計算ですが、

（１）　9球目で達成する確率は　9! / 9^9

（２） 10球目で達成する確率
9球で8箇所を抜いて、10球目で最後の1枚を抜く。最後に抜かれる数字は9 Ｃ 1 通り。最後の数字を決めたら、残りの８種の数字を9個並べる並べ方を考えればよい。重なる数字は 8 Ｃ 1 通り、それぞれの場合に対して8種の数字を9個（1種の数字のみ2個、残り７種は1個づつ）並べる並べ方は 9! / (2!) です。
故に、10球目に最後の1枚を抜く確率は
9 Ｃ 1 × 8 Ｃ 1 × 9! / ( 2!×9^10) = 36 × 9! / 9^10
約分は適当そうなところで止めておきます。

（３）　11球目で達成する確率
10球で8箇所を抜いて、11球目で最後の１箇所を抜く。10球目までで、１種類の数字が3回、または２種類の数字が2 回出る場合が考えられます。
上の (2) と同様、最後に抜かれる数字は 9 Ｃ 1通り。
1 種類の数字が 3 回重なる場合の数字の並べ方の数は、重なる数字が 8 Ｃ 1 通りで、8種 10 個（うち1種が 3 個、7種は1個づつ）の数字の並べ方で 10! / 3! 通り。
2 種類の数字が 2 回づつ重なる場合の数字の並べ方の数は、重なる数字が 8 Ｃ 2 通りで、8 種 10個（うち2種が2個づつ、6種は1個づつ）の数字の並べ方で 10! / (2! × 2!) 。
故に、11球目で達成する確率は
9 Ｃ 1 × (8 Ｃ 1 × 10! / 3! + 8 Ｃ 2 × 10! / (2!)^2 ) / 9^11
= 75 × 10! / 9^11

（４）　12 球目で達成する確率
11 球で 8 箇所を抜いて、12 球目で最後の 1 箇所を抜く。 12 球目までで
(a) 1 種類の数字が4回、他の数字は1回づつ
(b) 1 種類の数字が 3 回、もう 1 種類が2回、他の数字は1回づつ
(c) 3 種類の数字が 2 回づつ、他の数字は 1 回づつ
の３通りが考えられます。
(a) の場合の数は、9 Ｃ 1 × 8 Ｃ 1 × 11! / 4! = 3× 11! 通り
(b) の場合の数は、9 Ｃ 1 × 8 Ｃ 1 × 7 Ｃ 1 × 11! / ( 3! × 2!) = 42 × 11! 通り
(c)の場合の数は、9 Ｃ 1 × 8 Ｃ 3 × 11! / ( (2!)^3 ) = 63 × 11! 通り
故に、12球目に達成する確率は　(3 + 42 + 63) × 11! / 9^12 = 12×11! / 9^11

故に、持ち球 12 球で 9 枚抜きを達成する確率は、(1) ～ (4) を足して
9!/9^9 + 36 × 9! / 9^10 + 75 × 10! / 9^11 + 12×11! / 9^11
= 0.02862...

お礼

非常にわかりやすい解説ありがとうございます。
これで友人に説明できます。

回答No.4

zhidao

＞1問目は持ち球９つで９枚抜きを達成する確率
＞２問目は持ち球１２つで９枚抜きを達成する確率です。

持ち球9個で9枚抜きを達成する確率は、
(9!)*(1/9)^9=4480/4782969=0.00093665670841… (答)

持ち球12個で9枚抜きを達成する確率は、
((1/9)^(12))*Σ[k=0～9]C(9,k)*((-1)^k)*(9-k)^(12)
=1232000/43046721
=0.0286200660…　(答)

一般に 持ち球 L 個を使って、
M 個のマス目のうち、ちょうど N 個のマス目だけを抜く確率を
P(L,M,N)とすると、
P(L,M,N)=(C(M,N)/(M^L))*Σ[k=0～N]C(N,k)*((-1)^k)*(N-k)^(L).

回答No.2

noname#168349

持ち球１２球で９枚抜きを達成する確率ですか・・・
達成後に残している球数と連続ミスのあるなしで場合わけして、同じパターンが重複しないように注意しながら地道にやるしかなさそうに見えます。

具体的には
.3球残して達成する確率
.2球残して達成する確率
.1球残して達成する確率（連続ミスあり）
.1球残して達成する確率（連続ミスなし）
.0球残して達成する確率（3連続ミスあり）
.0球残して達成する確率（2連続ミスと別のミス）
.0球残して達成する確率（連続ミスなし）
を求めて最後に足しあわせる。あまり自信はありませんが・・・

回答No.1

pontiac_gp

＞この場合、9！　/9^9＝0.000104・・・
＞約0.1%となると思うのですが、

主語がありませんが、文脈から「9枚抜きを達成する確率」ですか？

＞12C9＝12C3=660
12C3は220です。

＞1/660＝0.001515
この式はどういう意味ですか。
12球あるときに9枚抜きを達成する確率は1/(12C3)だと思うのはなぜですか。

＞またあっているとすると、何故3球増えただけで確率が15倍にもなるのでしょうか？

なぜ？ということは15倍では不自然だと考えているということですよね。
それはなぜそう思うのでしょうか。何倍なら自然なのでしょうか。
世の中なんでも正比例ではないので、仮に15倍が正解としても
それだけを理由に怪しいとは思えないのですが。

補足

すいません、問題文が抜けていました。
1問目は持ち球９つで９枚抜きを達成する確率
２問目は持ち球１２つで９枚抜きを達成する確率です。
すいません、確率に関してはほとんど忘れてしまっていて、
友人からメールで聞かれた文章をほぼそのまま載せました。
なので、私もいまいち式の意味を理解してないです。

良ければ、正しい式、解を教えていただけると幸いです。