位相の計算過程

質問

本に載っている、1次遅れ要素のベクトル軌跡の計算の中で

θ = ∠[ 1/{1+(Tω)^2} - jTω/{1+(Tω)^2} ]
= ∠(1-jTω)
= -tan^(-1) Tω

という部分があり、理解できていません。
まず、2行目はまるで分母が消えたようです。
3行目は普通ならtan^(-1) y/xでしょうが、この場合の計算方法が分かりません。
どうか教えて下さい。

回答No.2

info33 · ベストアンサー

No.1です。

ANo.1のお礼コメントの質問の回答

> ∠[ 1/(1+jTω) ] = - ∠[ (1+jTω) ]
の計算過程が分からないです。
詳しい計算過程を教えて下さい。

∠[ 1/(1+jTω) ] =∠(1) - ∠ (1+jTω) = 0 - ∠ (1+jTω)
= - ∠[ (1+jTω) ]

公式: ∠[(a+j b)/(c+j d)] = ∠(a+j b) - ∠ (c+j d)

公式: ∠[(a+j b)/c] = ∠(a/c + j b/c) = ∠(a+j b),
∠[k(a+j b)] = ∠(ka+j kb) = ∠(a+j b)

公式: ∠(c) = 0, ∠(j b) = π/2 [rad] or 90°
公式: ∠[(a+jb)/(c+j d)] = ∠(a+j b) - ∠ (c+j d)

公式: ∠[(a+jb) (c+j d)] = ∠(a+j b) + ∠ (c+j d)

∠[ 1/(1+jTω) ] =∠[(1-jTω)/{(1+j Tω)(1-j Tω)} ]
= ∠[ (1-jTω)/{1+(Tω)^2 } ] = ∠(1-jTω) - ∠[ 1+(Tω)^2 ]
= ∠(1-jTω) - 0 = ∠(1-jTω)
= - ∠[ (1+jTω)

>実部と虚部に共通な実数要素c は消して

公式: ∠[(a+j b)/c] = ∠(a/c + j b/c) = ∠(a+j b),
c = {1+(Tω)^2

> = ∠(1-jTω)
> としても差し支えありません。
…の部分はまだ理解できていません。
> y/xの計算をすると消えるのは分かるのですが、
> いきなり消すにはもう少し説明が必要です。
> 例えば、仮に
> 1/{1+(Tω)^2} = jTω/{1+(Tω)^2} ← [ = ] は間違い
∠[1/{1+(Tω)^2} - jTω/{1+(Tω)^2} ]
k = 1/ {1+(Tω)^2} として
= ∠[ k - j Tω k ] = ∠[ k(1 - j Tω) ] =
= ∠(k) +∠(1 - j Tω) = 0 + ∠(1 - j Tω)
= ∠(1 - j Tω)

>という関係になっていて、両辺に{1+(Tω)^2}をかければ消えます

>と言われれば納得できます。

お礼

完全に理解できました。そんな公式があったんですね。なるほど、線が何倍になろうと何分の一になろうと角度は変わらないですよね。やっとイメージできました。それらの公式をポストイットに書いて本に貼っておきました。ありがとうございました！

回答No.1

info33

>θ = ∠[ 1/{1+(Tω)^2} - jTω/{1+(Tω)^2} ]
= ∠[ (1- jTω)/{1+(Tω)^2} ] = ∠[ (1- jTω)/{(1+jTω)(1-jTω)} ]
= ∠[ 1/(1+jTω) ] = - ∠[ (1+jTω) ] = -tan^(-1) (Tω/1) = -tan^(-1) (Tω/)
と計算できます。

位相は公式tan^(-1) y/xを用いて計算できますから
y = - Tω/{1+(Tω)^2}, x = 1/{1+(Tω)^2} とおいて
y/xの計算の共通の分母 {1+(Tω)^2} を約分すれば
y/x = [ -Tω/{1+(Tω)^2}] / [1/{1+(Tω)^2}] = - Tω/1
と分母は消えます。
>2行目はまるで分母が消えたようです。
実部と虚部に共通な実数要素は消して
> = ∠(1-jTω)
としても差し支えありません。

>3行目は普通ならtan^(-1) y/xでしょうが、
共通な分母は約分して
tan^(-1) y/x = tan^(-1) (- Tω/1) = -tan^(-1) (Tω)
と消えますので位相の計算では分母は消しても差し支えありません。

> = ∠(1-jTω)
> = -tan^(-1) (Tω)

お礼

ご回答、ありがとうございます。

>θ = ∠[ 1/{1+(Tω)^2} - jTω/{1+(Tω)^2} ]
= ∠[ (1- jTω)/{1+(Tω)^2} ] = ∠[ (1- jTω)/{(1+jTω)(1-jTω)} ]
= ∠[ 1/(1+jTω) ]
…ここまでは理解できました。

しかし、
∠[ 1/(1+jTω) ] = - ∠[ (1+jTω) ]
の計算過程が分からないです。
詳しい計算過程を教えて下さい。

-∠(1+jTω) = ∠(1-jTω)なのは理解できています（複素共役の関係ですよね…だんだん自信が無くなってきましたが…）。

また、y/xとして割る場合に分母が消えるのは理解できました。
ただ、
実部と虚部に共通な実数要素は消して
> = ∠(1-jTω)
としても差し支えありません。
…の部分はまだ理解できていません。
y/xの計算をすると消えるのは分かるのですが、
いきなり消すにはもう少し説明が必要です。
例えば、仮に
1/{1+(Tω)^2} = jTω/{1+(Tω)^2}
という関係になっていて、両辺に{1+(Tω)^2}をかければ消えますと言われれば納得できます（今回は違うのでしょうけど）。
そのような説明があればお願いします。

質問が非常に多くてすみません…。

補足

ご回答、ありがとうございます。
計算しますのでしばらくお待ちください。