平面曲線の曲率の計算について

質問

曲率の計算が合いません。元ネタは下の画像です。
　画像の de1/dt を (t↑)' で表しています。
　私が持っているベクトル解析の参考書には t↑が単位接ベクトルのとき、|(t↑)'|が曲率であると定義されています。

　そこで
　　　　　　　　x''y' - x'y''　　　　　　　 y''x' - y'y''
　　(t↑)'= ( y'──────────────, x'────────────── ).
　　　　　　( (x')^2+(y')^2 )^(3/2)　　 ( (x')^2+(y')^2 )^(3/2)

から直接|(t↑)'| を計算したのですが、画像の(39)と合いません。おかしなところを指摘してください。

　添付画像の微分記号は計算するとき煩雑なので
　　a = x',　b = x''
　　c = y',　d = y''
　　a^2 + c^2 = (x')^2+(y')^2
と置くと

　　　　　　　c(bc-ad)　　　　 a(ad-bc)
　　(t↑)'= ( ──────────, ─────────── ).
　　　　　 (a^2+c^2)^(3/2)　 (a^2+c^2)^(3/2)

　ここで |(t↑)'|^2 を計算する。
　分母は ( (a^2+c^2)^(3/2) )^2 = (a^2+c^2)^3
　分子は
　　(c(bc-ad))^2 + (a(ad-bc))^2
　 = c^2( (bc)^2 + (ad)^2 - 2abcd ) + a^2( (ad)^2 + (bc)^2 - 2abcd )
　 = c^2(bc)^2 + c^2(ad)^2 - c^2(2abcd) + a^2(ad)^2 + a^2(bc)^2 - a^2(2abcd)
　 = (bc)^2(a^2+c^2) + (ad)^2(a^2+c^2) -2abcd(a^2+c^2)
　 = (a^2+c^2)( (ad)^2+(bc)^2-2abcd )
　 = (a^2+c^2)(ad-bc)^2.

　　　　　　 (a^2+c^2)(ad-bc)^2　　(ad-bc)^2
　　|(t↑)'|^2 = ──────────── = ─────────.
　　　　　　　　(a^2+c^2)^3　　　 (a^2+c^2)^2
　　　　　 　|ad-bc|
　　|(t↑)'| = ───────.
　　　　　　a^2+c^2

回答No.1

gamma1854 · ベストアンサー

・・・・私が持っているベクトル解析の参考書には t↑が単位接ベクトルのとき、|(t↑)'|が曲率であると定義されています。
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※ |(t↑)'| はｔに関する微分ではなく、弧長parameter s に関する微分です。
(普通、dr/dsをr'(s) と書き、tでの微分dr/dtはr(t)の上にdotをつけます)
(t↑)'=(d/dt)|(t↑) /(ds/dt), ds/dt=(a^2+c^2)^(1/2).
です。

お礼

> ※ |(t↑)'| はｔに関する微分ではなく、弧長parameter s に関する微分です。
　いやいやそうでした（笑）。いつも丁寧な回答まことにありがとうございます。