円と直線が囲む面積の積分（確率）

質問

「xy平面上で, x^2+y^2 ≦ 4 (x≧０， y≧０)を満たす任意の点(a,b)を選んだとき, aとbの和が√6以上となる確率はいくらか」

以上の問題の導出過程が分かりません。

x≧０， y≧０なので,　

y=√(4-x^2)
y= -x+√6

の２式に囲まれる面積Sを「半径2の円を４等分した面積」(=π)で割った値になると考えました。
２式から２つの交点を求めれば,

S=∫{√(4-x^2)- (-x+√6)}dx

というふうにSを求められるかと思います。ところが、この後の導出が分かりません。

この場合、円座標系に置換しても複雑になるだけですよね？
１項目の積分はどのように処理すればよろしいでしょうか。

それとも、もっと簡単な計算方法があるのでしょうか？

アドバイスよろしくおねがいします。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

もっと簡単な計算方法があるのでしょうか？
＞
x^2+y^2=4とy=-x+√6を連立で解いて2交点の長さを三平方の定理で
計算すると、結果は2になります。
従って、点(a,b)の範囲は、半径2の円で弦の長さが2の弓形(中心角
60°半径2の扇形から一辺が2の正三角形を除いた部分)になります。

お礼

なるほど、積分しなくても解けるのですね。
気がつきませんでした。ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

求める (a, b) が存在する領域を図示することはできますか?

ただ, きれいな数字にはならなさそうな気はするし, 「問題の導出過程」は普通「問題を導く過程」であって「問題を解く過程」ではないと思うんだが....

お礼

ご指摘ありがとうございます。
他の方の回答で解決しましたので、図については省略させていただきます