たぶん基礎的な物理学の問題だと思いますが。。。

質問

長方形の物体を高さの異なる2つの滑車で斜めに引っ張り上げると、物体は高さの低い方の滑車側に引っ張られると思います。
このことを数学的に証明したいのですが、切り口が分からずに右往左往しています。

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引き上げると滑車の低い方へ移動しますよね？
そのときの移動量を計算したいのです。

回答No.6

noname#230359

回答（２）の者です。
前回記述したように、簡単にテストすれば一目瞭然と思うのですが。

回答No.5

noname#230359

低い方の滑車を持ち上げると糸またはベルトの滑車に対する接触角が，高い
方の滑車側で大きくなり，一方低い方は小さくなります。動滑車に働くベク
トルで考えれば，提示図の左側の張力ベクトルは左回転し，一方右側のそれ
も左回転します。このため動滑車が静止する(張力の水平成分がつり合う)に
は滑車が右側(低い方側)に移動することになります。
動滑車に加わるベクトル図を描けばわかります。各力のつり合い式を導けば
移動距離も計算できますが，影響因子が多いのでやや複雑になります。

回答No.4

noname#230359

吊り合いをベクトルとして考えると３個のベクトルが、１点で交わるような
吊位置でない場合、吊荷のバランスが崩れてしまうだろうから現実問題として
そうなる吊位置を逆に決めるべきかと思います。そうなれば角度は関係ないと

回答No.3

noname#230359

参戦
第一インスピレーションから
Mは
可動範囲で一番低いところにくる
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等角にならなくてもよいのでは
と推測

第一インスピレーションは間違っていた
同一高さの場合
右辺を左辺は同じ用になるはずなので
http://mcnc.hp.infoseek.co.jp/cgi-bin/img-box/img20100306155644.jpg
のように仮想で考えて　等しくなるところが正解でしょうね

回答No.2

noname#230359

小生も、回答（１）さんの考えに同感です。
引き上げるワイヤー？が坂道だとします。
長方形の物体とワイヤーの滑り摩擦は、理想的に両側で同じとします。
すると、図の如くワイヤーの角度は、垂直線にて左右対称になります。
長方形の底面が水平だとすると、その底面から滑車の高さが左右異なると、
図の如く、左が高い場合、斜辺のワイヤーや滑車と長方形の縦端面間の長さは長くなり、
右が低い場合、斜辺のワイヤーや滑車と長方形の縦端面間の長さは短くなり、
見た目に低い滑車の方に長方形の物体が近寄っているようになって、低い方に移動したように
見えます。
以上の内容を前提に、滑車を引張る時の長方形底面から左右の滑車の位置の変化率を出せば、
短い方が分数の分母が小さい事と同じで変化率が高い（高さが低くなる割合が高い）となり、
左右が相似形の三角形を形成することから、滑車と長方形の縦端面間の長さの変化率も低い
滑車の方が短くなる変化率が大きいので、低い方によっていく事になります。

質問者さんへ
一度、実験してみては如何でしょう。
A4の紙又は新聞紙を回答（１）さんのようにしてみます。
その中に、小さい円筒物（スティックのり、鉛筆、お茶の葉入れ、等々）を入れ、左右の
持つ高さを変えてみれば、一目瞭然です。
円筒物を選ぶのは、摩擦をころがり摩擦とし最小限にして、重りである円筒物の動きを
観察したいためです。
また、その後に、細長い文鎮のような重くて長い物があれば、それを使用してみて下さい。
取っ手みたいな物が無い物か、外れる物で外した方が良いです。
今度は、ころがりでなく滑りで、移動する事が確認できます。
滑りは、ぎこちなく動きますから、円筒物の確認の後にすると、判り易いと思います。
ですから、小生は最初に“長方形の物体とワイヤーの滑り摩擦は、理想的に両側で同じとします”
としました。

回答No.1

noname#230359

右側のワイヤーと左側のワイヤーにかかる張力を水平方向と鉛直方向に
分解して、左右のワイヤーの張力鉛直成分が等しく、水平成分の等しく
なるので、左右の角度が等しくなるという結論が導けそうな気がします。

角度が等しければ、物体は低い滑車の方に寄ってバランスがとれるという
ことでしょう。

ただし、絵は下のように描くか、長方形の物体が水平に保たれることを条件
に書き加えることが必要と思います。

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