因数分解

質問

f(x)=x^5 -x^4 +x^3 -2x^2 +10x -3を整数係数の範囲内で因数分解せよ

宜しくお願いします

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

もしf(x)がxの１次式を因数にもつなら、
因数定理からf(±1),f(±3)のどれかが0になるはずですが、
いづれも0にならないので１次式を因数をもたないことが分かります。

よって、f(x)が整数係数の範囲内で因数分解できるなら、２次式と３次式の積になります。
f(x)=(x^3+ax^2+bx+c)(x^2+dx+e)
とすると、
a+d=-1
e+ad+b=1
ae+bd+c=-2
be+cd=10
ce=-3

d=-a-1
e=-3/c
b=(c-ce-acd)/c=(a^2c+ac+c+3)/c
として、
ae+bd+c=-2
be+cd=10
に代入して整理すると、
a^3c+2a^2c+2ac+6a-c^2-c+3=0
3a^2c+ac^3+3ac+c^3+10c^2+3c+9=0

cの候補は±1,±3のどれかなので、これを条件に解くと、
a=-3, c=-1
であることが分かります。

あとは、他の変数を求めて、

f(x)=(x^3-3x^2+4x-1)(x^2+2x+3)

お礼

なるほど
２次と３次に分解する発想はなかったです

ありがとうございました