線形代数と総積の問題です。

質問

問題が書いてある画像を添付しています。
この問題について教えて下さい。(メインは(3)です。)

(1)は、無理やり文章で証明したのですが、どのようにやるとキレイに証明できるでしょうか。
自分のやり方は、
対角成分はωとωの複素共役が打ち消しって1になるので、その和でn、
対角成分以外は半径1の円をn分割した各点の和なので打ち消し合って0になる、と無理やり証明しました。

(2)については問題ないです。

(3)が一番分かりません。
総積の自然対数を取ることで総和に変形し、総和を積分として見ることで証明するのだと思うのですが、いくつか疑問点があります。

(2)の式の両辺を自然対数を取ることで総積→総和に変換します。その時、

1,(2)のj,k,nにx,y,πを代入するのだと思うのですが、Σの範囲にπを使って良いのでしょうか。

2, 積分は0から始まりますが(2)の総積は1から始まります。これは、対数をとった後両辺にΣ(y=1,π)(x=0の時)を足せばいいのでしょうか。

3, 最終的に総和を積分と見ることで証明するのだと思うのですが、それはどのように証明すればいいのでしょうか。(面積と考えてイメージは出来るのですが・・)

以上です。どなたかお願いします。
そもそも(3)の考え方自体が間違っていたら、申し訳ないですがその点もご教授願います。

回答No.1

Tacosan

(i) の証明はだいたいそんな感じだけどちょっと怪しい. 非対角成分が 0 になることはもうちょっと丁寧に言う必要があると思います. 少なくとも「半径1の円をn分割した各点の和なので打ち消し合って0になる」は正確ではないはず (「n分割した各点」がすべて現れるとは限らない). 積の (i, j) 成分を定義に従って書くと
Σ(k=0～n-1) ω^[k(i-j)]
のような形になるんだっけ?

(iii) これは, たぶん区分求積法をイメージするんじゃないかな. たとえば
lim(n→∞) (1/n) Σ(k=0～n-1) sin (k/n)π
を積分で書くとどうなりますか?

補足

ありがとうございます。すみません、回答してくださったのに気が付かず1日遅れました。
(i)に関しては確かにその形になりますが、そこから理論的にどうすればいいのか分かりません。

(iii)に関して、区分求積法、忘れていたので調べてきました。
提示してくださった総和は、∫(0,1)sin(xπ)になると思います。

今回はkとj(又はxとy)の2変数がありますが、その場合はどう積分の形にすればいいのでしょうか？
2変数関数の区分求積法の公式があるのでしょうか。
シグマの範囲も普段と違う(1<=k<j<=n)のでイメージしづらく混乱しています。。