逆関数

質問

2次方程式に関してわからない点が2つあるので質問します。
eは1より大きい正の定数とする。x≧0で定義された関数 y={e^x+e^(-x)}/2・・・(1)
の逆関数を求めよ。
という問題の解答で、(1)の両辺に2e^xをかけて、e^x=Xとおくと、
X^2-2yX+1=0・・・(2)　になります。ただしe>1, x≧0 からX≧1
分からないことは、(2)が成り立つためには、X≧1に実数解をもつという点です。
１つは重解はなぜダメなのでしょうか？2つ目は(2)の2つの解だけ、(1)を満たしているとしたら、逆関数ではなくて、２数が求まるような気がします。
自分の考えの間違いを指摘してください。お願いします。

回答No.2

MSZ006 · ベストアンサー

＞(2)が成り立つためには、X≧1に実数解をもつという点です
＞重解はなぜダメなのでしょうか？

重解も実数解ですからだめではないと思いますが・・・

＞2つ目は(2)の2つの解だけ、(1)を満たしているとしたら、逆関数ではなくて、２数が求まるような気がします。

解はｙを含んでいるので、Ｘはｙの関数だといえます。

お礼

X軸はyの関数になるんですね。お返事ありがとうございます。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

Xの2次方程式 (2) が重解をもっていても問題ありません。
重解となるのは y=1 のときのみですが、もともとの関数 (1) で y=1 とすると x=0 という1個の実数値のみがあらわれ、これはもちろん x≧0をみたしています。

Xの2次方程式 (2) の2つの解の積は1になりますので（→2次方程式の解と係数の関係）、正の実数解であれば、一方が1より大のとき他方は必ず1より小となります。よって一方しか採用されません。

いかがでしょうか。

お礼

2次方程式の解と係数の関係による説明、Xが実数になることも納得できました。お返事ありがとうございます。