二次関数

質問

二次方程式x^2-(a-2)x+(a/2)+5=0が1≦x≦5の範囲に異なる２つの実数解をもつとき、定数aの値の範囲を求めよ。

この問題は、どうやって解けばいいんですか？
y=x^2-(a-2)x+(a/2)+5と置いて、二次関数を利用して解くのはわかっているんですけど、それをどこから解いていいのかわかりません。
解る人がいたら、教えて下さい。

回答No.2

pocopeco · ベストアンサー

ヒントだけもらって、式は自分で導いた方が勉強になるので、ヒントだけ書きます。

(1)この二次方程式が異なる２つの実数解を持つための条件は？
これで a の範囲が限定されます。

以後 a は(1)の範囲だけ考えます。　
(2)さらに、二次方程式を解きます。解の中に a　が入っていて OKです。
この2つの解が1≦x≦5　を満たすときの　a の範囲は？

わからなければ補足でどうぞ。

お礼

やってみたら、解くことができました!!
本当に、いつもいつも、早い回答ありがとうございます。
すごく助かっています。
これからも、よければよろしくお願いします^^

補足

(2)で、二次方程式を因数分解できなかったので、解の公式で解くと
a-2±(√a^2-6a-16)/2
となったんですけど、ルートの中にも文字が入ってきてしまいました。
どうすれば・・・？

回答No.5

oyaoya65

#3-4です。
A#4の補足訂正です。

＞解答の8≦a≦80/9
＞が出てきますよ。
(A)の条件から8は含みませんので正解は
8＜a≦80/9
ですね。
解答に等号が入っているとすれば解答が誤植ですよ。

確認チェック）
a=8とすると2根はx=3(重解)で条件を満たしません。
a=80/9とすると2根はx=5,17/9(≒1.8889)で条件を満たしています。
a=12としてみると2根は5±√14(≒1.25834,8.74166)で条件を満たしません。

回答No.4

oyaoya65

＞8≦a≦12になるんですけど、回答には、8≦a≦80/9

＞(A)a＜-2,8＜a
＞(B)4≦a,a≦12つまり、4≦a≦12
(B)でなく(C)から出てくる条件です。

＞(C)a≦80/9,a≦16つまりa≦16
(C)でなく(B)から出てくる条件です。
これば同時に満たすべき条件ですので重なる　a≦80/9≒8.89　とすべきです。
これと上の2つの条件から
解答の8≦a≦80/9
が出てきますよ。

お礼

逆でした；
（Ｂ）は、同時に満たさなければいけなかったんですね。
答え出てきました!!
ありがとうございました。

回答No.3

oyaoya65

＞√(a^2-6a-16)/2
√内、つまり判別式D＞0　←2実根を持つ条件
これを解くと
(a+2)(a-8)＞0 ∴a＜-2 or a＞8 ...(A)
これは異なる2実根をもつ条件ですが、この2実根が
1≦x≦5の範囲に入らないと条件を満たさないので
この条件を考察しないといけませんね。

#1さんが言われているようにグラフで考えると良いですね。

2次方程式の左辺をf(x)とおき、y=f(x)のグラフを考えてください。

y=f(x)のグラフは下に凸の放物線ですから、
1≦x≦5の範囲に異なる２実根を持つための条件は
（A)の条件の他に
f(1)≧0 かつ f(5)≧0 ... (B)
および
放物線の対称軸x=(a-2)/2が1≦x≦5の範囲に入ること
1＜(a-2)/2＜5 ... (C)
を満たすこと。

(A),(B),(C)を同時に満たすaの範囲を求めてください。

補足

それでやってみたら、範囲が、
(A)a＜-2,8＜a
(B)4≦a,a≦12つまり、4≦a≦12
(C)a≦80/9,a≦16つまりa≦16

となって、これだと答えは8≦a≦12になるんですけど、回答には、8≦a≦80/9と書いてあります。
どこが間違っているんでしょうか？

回答No.1

chainarrow

ヒント。
二次方程式x^2-(a-2)x+(a/2)+5=0が1≦x≦5の範囲に異なる２つの実数解をもつとき、y=x^2-(a-2)x+(a/2)+5のグラフとX軸はどのような位置関係になるか考えてください。X＝１、X＝５の時、グラフはX軸上またはそれより上にあるから…不等式が立てられますね。

お礼

f(１)≧０と、f(５)≧０で範囲が出てくるんですね。
それがわからなかったんです。
答えが出ました!!
ありがとうございました。