分数関数の不定積分

質問

log(x^2+1)
の不定積分が解けません。
高校数学では定積分しか解けないようです。
どなたか教えていただけないでしょうか？

x^2はxの2乗です。

回答No.3

banakona

お待たせしました。

ｙ＝arctan ｘ　から　ｘ＝tan ｙ
dx/dy＝1/(cos ｙ)^2　を、dx/dy＝｛（sin ｙ）^2＋（cos ｙ）^2｝/(cos ｙ)^2　と変形。
dy/dx＝1/（dx/dy）なので
∴dy/dx＝　(cos ｙ)^2/｛（sin ｙ）^2＋（cos ｙ）^2｝
　　　　＝1/｛（sin ｙ/cos ｙ）^2＋１｝
　　　　＝1/｛（tan ｙ)^2＋１｝
　　　　＝1/（ｘ^2＋１）

∴∫1/（x^2+1)ｄｘ＝arctan ｘ＋Ｃ

お礼

お手数かけてすみません。
微分でなら理解できました。ただやっぱり積分計算としてはできないですね。。。これは知識として頭にいれておくほうが良いみたいですね。

どうもありがとうございました。

回答No.2

banakona

＃１さんのご指示どおりにすれば解けます。ところで

∫1/（x^2+1)ｄｘ＝arctan ｘ＋Ｃ　

はご存知ですか？（arctan ｘはtan ｘの逆関数）

お礼

回答ありがとうございます。

それです！それが解けなかったんです。
宜しければ、少し詳しく教えていただけないでしょうか？

回答No.1

endlessriver

{log(x^2+1)}*1
として部分積分すれば良いようです。

お礼

回答ありがとうございます。

私もそれで進めたのですが、1/x^2+1の不定積分が解けないんです。。。