不定積分

質問

∫e＾(-x)sinxdxなんですけども
fx＝sinx
g'x＝e＾(-x)
とおいてやってみたんですが解けません。

あと、不定積分を求めるとき置換積分法を使うのか
部分積分法をつかうのかはどうやったらわかるのですか？

回答No.3

Meowth

∫e＾(-x)sinxdx=-e＾(-x)sinx+∫e＾(-x)cosxdx
∫e＾(-x)cosxdx=-e＾(-x)cosx-∫e＾(-x)sinxdx
辺々加えると
∫e＾(-x)sinxdx+∫e＾(-x)cosxdx=-e＾(-x)sinx+∫e＾(-x)cosxdx-e＾(-x)cosx-∫e＾(-x)sinxdx
2∫e＾(-x)sinxdx=-e＾(-x)sinx-e＾(-x)cosx
=-e＾(-x){sinx+cosx}
∫e＾(-x)sinxdx=-e＾(-x){sinx+cosx}/2

回答No.2

info22

e^(-x)やsin(x)のような関数は微分してもなくならない。部分積分していくと同じ積分が現れるので、右辺に移項して、積分の係数で割れば、不定積分が求まる。[これは重要ですから覚えておくこと]

I=∫e^(-x)sinxdx=-e^(-x)sinx +∫e＾(-x)cosxdx
=-e^(-x)sinx -e^(-x)cosx -∫e＾(-x)sinxdx ←同じ積分
=-e^(-x)sinx -e^(-x)cosx - I ←　Iを移項
2I =　-e^(-x)sinx -e^(-x)cosx
I =　-e^(-x) (sinx + cosx)

（ステップアップ）
I=∫e^(-ax)sin(bx)dx
を上の方針でやってみてください。

回答No.1

T-gamma

部分積分で解けるはずです。
∫e＾(-x)sinxdx＝・・・＝○ー∫e＾(-x)sinxdx
と元の形が出てくると思うので、ここから積分定数に気をつけて
∫e＾(-x)sinxdx＝○+Ｃ
と求めます。（○に入る関数自分で求めてください）

部分積分と置換積の良い見分け方はよく知りません。
私の場合は何となく経験的に見えてくるって感じでした。
まあ、この問題のように指数関数と三角関数の積であるなら典型的な部分積分の問題だと判断できますが…。（あまり良いアドバイスでなくてすみません）

お礼

ありがとうございます。