連立方程式の問題（中学２年生の数学）

質問

・A、Bの２種類の食塩水がある。Aの食塩水を４８０ｇとBの食塩水を２４０ｇ混ぜると８％の食塩水になり、Aの食塩水を２４０ｇとBの食塩水を４８０ｇ混ぜると１０％の食塩水になる。A、Bの食塩水の濃度はそれぞれ何％か。

☆この問題の【解き方】と【回答】を詳しく教えていただけないでしょうか？

よろしくお願い致します。

回答No.1

panacon · ベストアンサー

食塩水の問題は、塩の重量で連立方程式を作ります。
Aの濃度をa%、Bの濃度をb%として式を作ります。

480×a÷100＋240×b÷100＝（480＋240）×8÷100　 (1)
240×a÷100＋480×b÷100＝（480＋240）×10÷100　(2)

両辺を100倍すれば、百分率の100で割るを取ることができるので、(1)と(2)は下記の(3)と(4)になります。

480×a＋240×b＝720×8　 (3)
240×a＋480×b＝720×10　(4)

(3)の両辺を2倍して(4)を引くとbの式の部分が消えそうなので

960×a＋480×b＝720×16　(5)

(5)－(4)で、

720×a＝720×6　(6)

両辺を720で割ると

a＝6　(7)

(7)の結果を式(3)に代入

480×6＋240×b＝720×8
2880＋240×b＝5760
240×b＝5760-2880＝2880
b＝2880÷240＝12

b＝12

回答No.5

f272

#4です。間違いがあった。
A%の食塩水とB%の食塩水を1:1の割合で混ぜたら(1/2)A+(1/2)B%になる
ように，
A%の食塩水とB%の食塩水をx:yの割合で混ぜたら(x/(x+y))A+(y/(x+y))B%になる
ことを覚えておくべきです。分母はどちらもx+yで，分子は混ぜる割合です。
この問題の場合は
A%の食塩水とB%の食塩水を480:240=2:1の割合で混ぜたから
(2/3)A+(1/3)B=8...(1)
A%の食塩水とB%の食塩水を240:480=1:2の割合で混ぜたから
(1/3)A+(2/3)B=10...(2)
という2つの式が成り立ちます。
(1)*2-(2)を計算してA=6
(2)*2-(1)を計算してB=12
ですね。

回答No.4

f272

A%の食塩水とB%の食塩水を1:1の割合で混ぜたら(1/2)A+(1/2)B%になる
ように，
A%の食塩水とB%の食塩水をx:yの割合で混ぜたら(y/(x+y))A+(x/(x+y))B%になる
ことを覚えておくべきです。分母はどちらもx+yで，分子は混ぜる割合を逆にしたものです。
この問題の場合は
A%の食塩水とB%の食塩水を480:240=2:1の割合で混ぜたから
(1/3)A+(2/3)B=8...(1)
A%の食塩水とB%の食塩水を240:480=1:2の割合で混ぜたから
(2/3)A+(1/3)B=10...(2)
という2つの式が成り立ちます。
(1)*2-(2)を計算してB=6
(2)-(1)*2を計算してA=12
ですね。

回答No.3

noname#227880

一般的な考え方からの応用です。

まず、次の問題を考えてください。
濃度6％の食塩水と濃度12%の食塩水を混ぜて、濃度8%の食塩水を720g作るためには、それぞれの食塩水を何gずつ混ぜればいいでしょうか。
濃度6％の食塩水をxg、濃度12%の食塩水をygとすると、
食塩の量について、
x*6/100+y*12/100=(x+y)*8/100－(1)
食塩水の量について、
x+y=720－(2)
ここで、通常は、式(2)から例えばyをxを用いて表し、これを式(1)に代入してxを求め、さらに式(2)に戻ってyを求めますが、これを次のように考えます。
式(1)を変形すると、
(12-8)y=(8-6)x
y/x=(8-6)/(12-8)→x：y=(12-8)：(8-6)
つまり、xとyの比は、8％を基準にした濃度の差の逆比になります。

以上の点を踏まえて、この問題を考えてみます。

A、Bの食塩水の濃度をそれぞれx%、y%とします。（注：上でのx、yは食塩水の量）
「Aの食塩水を480gとBの食塩水を240g混ぜたもの」と「Aの食塩水を240gとBの食塩水を480g混ぜたもの」では、Aの食塩水480-240=240gがBの食塩水240gに置き換わり、濃度が8%から10％に増加するので、x＜8、y＞10になります。
よって、
480/240=(y-8)/(8-x)→y=-2x+24－(3)
240/480=(y-10)/(10-x)→y=-x/2+15－(4)
式(3)(4)から、x=6%、y=12%

※連立方程式を用いない別解
480gが240gの2倍であることに着目します。
「Aの食塩水を480gとBの食塩水を240g混ぜて8%にしたもの」に含まれる食塩の量は、
(480+240)*8/100=57.6g
「Aの食塩水を240gとBの食塩水を480g混ぜて10％にしたもの」に含まれる食塩の量は、
(480+240)*10/100=72g
これから、Aの食塩水240gとBの食塩水240gに含まれる食塩の量の差は、
72-57.6=14.4g
Aの食塩水240gに含まれる食塩の量をxgとすると、「Aの食塩水を480gとBの食塩水を240g混ぜて8%にしたもの」に含まれる食塩の量は(3x+14.4)gであり、これが57.6gに等しくなるので、
3x+14.4＝57.6→x=14.4g
よって、Aの食塩水の濃度は、14.4/240*100=6%
また、Bの食塩水の濃度は、(14.4+14.4)/240*100=12%

回答No.2

info222_

>A、Bの食塩水の濃度はそれぞれ何％
a％, b％とおく。

A, B の食塩水を混ぜる前後で含まれる食塩の量が同じであることを方程式にすると
480*a/100+240*b/100=(480+240)*8/100 ...(1)
240*a/100+480*b/100=(240+480)*10/100 ...(2)
2つの方程式を簡単にすると
2a+b=24 ...(1')
a+2b=30 ...(2')
(1')より
b=24-2a ...(3)
(2')に代入して
a+48-4a=30
18=3a
a=6 (％)
(3)に代入して
b=12 (％)

(Ans.) Aの食塩水の濃度= 6％ , Bの食塩水の濃度= 12％