３次元空間において、任意の座標（原点除く）から原点を見通した場合の、２

質問

３次元空間において、任意の座標（原点除く）から原点を見通した場合の、２軸の見かけの角度について質問があります。

例えば、XYZ空間があったとします。X、Y、Z軸はそれぞれ90°で交わっています。
このとき、XY軸の見かけの角度が90°の場合、”XZ平面、もしくはYZ平面上の任意の座標（原点除く）から原点を見ている”ということがいえると思います。
このように、２軸の見かけの角度がわかっている場合、どの平面上の座標から原点を見通しているかがわかると思うのですが、導出方法や具体的な計算方法がわかりません。

射影幾何学等などに詳しい方がいらっしゃいましたら、ご教示お願い致します。

回答No.5

alice_44 · ベストアンサー

二次曲面の分類：
一覧表　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%9B%B2%E9%9D%A2#3.E6.AC.A1.E5.85.83.E4.BA.8C.E6.AC.A1.E6.9B.B2.E9.9D.A2
グラフ　http://www.kusa.ac.jp/~nakagawa/tips/math-s1.html

[2'] は、２組の双曲放物面を表します。
球面と双曲放物面の交線といっても、イメージしにくいと思うのですが…
[1'] の下で [2'] と同値な [3] に置き換えたほうが、考えやすいのでは？
ちなみに、[3] は、円柱面ではなく、楕円柱面でしたね。

お礼

ありがとうございます。リンク先を確認したらとてもよくわかりました！
最後までおつきあい頂き誠にありがとうございました！

回答No.4

alice_44

腕力が不足で、込み入った成分計算には付いて行けないので、
ちょっと別の方向から計算してみました。

原点から視点方向の単位ベクトルを s、
X 軸、Y 軸、Z 軸 の単位方向ベクトルを x, y, z、
視点から見た、y, z の見かけのベクトルを p, q と置きます。
(s,s) = (y,y) = (z,z) = 1,　(y,z) = 0,
p = y - s (y,s)/(s,s),　q = z - s (z,s)/(s,s) が成り立ちます。

p, q の成す角 θ が与えられた場合、
内積の式 (p,q) = |p| |q| cosθ を二乗して、
(p,q)^2 = (p,p) (q,q) (cosθ)^2。これに、上の式を代入すると、
(y,s)^2 (z,s)^2 = { 1 - (y,s)^2 } { 1 - (z,s)^2 } (cosθ)^2。
展開整理して、(y,s)^2 (z,s)^2 (tanθ)^2 = 1 - (y,s)^2 - (z,s)^2。
ピタゴラスの定理 (s,s)^2 = (x,s)^2 + (y,s)^2 + (z,s)^2 …[1] より、
(y,s)^2 (z,s)^2 (tanθ)^2 = (x,s)^2 …[2] となります。

s の成分を (a,b,c) と置けば、
開平して、b c tanθ = ±a …[2'] です。
この式と、[1] すなわち a^2 + b^2 + c^2 = 1 …[1'] が連立します。
[2'] × 2/tanθ + [1'] より、
(a ± 1/tanθ)^2 + (b + c)^2 = 1/(cosθ)^2 …[3]。

[1']∧[2'] ⇔ [1']∧[3] ですが、
[1'] は球、[3] は円柱面を表しています。
さて、交線は…

お礼

別の解法ありがとうございます。
自分でも手計算してみて、理解できました。

しかし、[2']がよくわかりません…
図形的に何を意味しているのでしょうか？

回答No.3

nag0720

＞0 = a^2c^2-a^2b^2+c^2b^2+c^4
＞となり、３変数から平面を特定する方法がわかりません。

平面ではなくて曲面ですね。
a,b,cだと分かりにくいので、x,y,zにして整理すると、

(x^2-z^2)(y^2-z^2) = 2z^4

x,y,zとも２乗の形になっているので、x,y,z≧0の領域（第一象限）だけを考えても十分です。
（他の領域はそれを反転したものです）

X=x^2、Y=y^2、Z=z^2 とすると、

(X-Z)(Y-Z)=2Z^2

これは、Zを定数としXY平面とみなすと、X=Z、Y=Zを漸近線とする双曲線です。

３次元でイメージするのは難しいかもしれませんが、
Zが小さい場合は、頂点が原点に近く、Zが大きくなればなるほど、頂点が原点から遠ざかる双曲線をつなげた曲面です。

X,Y,Zをx,y,zに戻してxyz座標で考えても曲面の形はほとんど同じです。

お礼

やっとイメージがつきました！双曲線になるんですね！
長い間お付き合い頂き本当にありがとうございました。

回答No.2

nag0720

＞-ab = √(1-a^2)×√(1-b^2)×cosθ

-ab = √(a^2+c^2)×√(b^2+c^2)×cosθ

ではないですか？

お礼

ご指摘ありがとうございます。かなり時間はかかりましたが、ご指摘どおりの式を導くことができました。

θ＝９０°の場合だと、

-ab = 0

となるため、a=0またはb=0、よって、当該平面はXZ平面もしくはYZ平面となる、というのはわかりますが、

ここで、たとえばθ＝４５°だった場合、

-ab = √(a^2+c^2)×√(b^2+c^2)×cosθ
-ab = √(a^2+c^2)×√(b^2+c^2)×√(1/2)
a^2b^2 = (a^2+c^2)×(b^2+c^2)×(1/2)

0 = a^2c^2-a^2b^2+c^2b^2+c^4

となり、３変数から平面を特定する方法がわかりません。
度々お時間を割いていただき誠に申し訳ありません。いましばらく御付合いの程よろしくお願いします。

回答No.1

nag0720

視点を(a,b,c)とすると、原点を通り視点方向に垂直な平面の式は、
ax+by+cz=0
です。

この平面に視点から点(1,0,0),(0,1,0)を投影させたときの点をP,Qとすると、
平面と直線の式から交点の座標を求めれば、
Pの座標は(-(b^2+c^2)/A,ab/A,ac/A)
Qの座標は(ab/B,-(a^2+c^2)/B,bc/B)
となります。
ただし、A=a-(a^2+b^2+c^2)、B=b-(a^2+b^2+c^2)

原点Oの投影は原点なので、２軸の見かけの角度をθとすると、
ベクトルOPとベクトルOQの内積の関係式、
(OP,OQ)=|OP||OQ|cosθ
からa,b,cの条件が見えてきます。

ちなみに、見かけの角度が90°の場合は、
(OP,OQ)=0から、ab(a^2+b^2+c^2)=0が導かれ、a=0またはb=0となります。
これはXZ平面もしくはYZ平面上の点を意味します。

お礼

お忙しいところ、ご回答ありがとうございます。
お陰様で、内積の関係式までは理解できました。
また、見かけの角度が90°の場合についてもわかりました。

しかし、まだa,b,cの条件がよくわかりません。変数が３つで式が一つではうまく求まらない気がするのです。

以下私の認識しているところです。

(OP,OQ)=|OP||OQ|cosθなので、この式を両辺展開して、簡単にすると、

　-ab = √(1-a^2)×√(1-b^2)×cosθ

となる。この時点でcが消えてしまう…

以上が私の認識です。これは平面が一意に定まらないため間違ってますよね？

>見かけの角度が90°の場合は、
>(OP,OQ)=0から、ab(a^2+b^2+c^2)=0が導かれ、a=0またはb=0となります。
>これはXZ平面もしくはYZ平面上の点を意味します。

このことはよくわかります。それ以外の角度の場合は具体的にどのような計算をすればいいのでしょうか？

メールを頂いてから色々調べながら考えたのですがわかりませんでした。もうしばらくお付き合い頂けると幸です。よろしくお願い致します。