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双曲線の方程式の導出について
- 双曲線の方程式を導出する際に、2つの焦点と距離の関係を利用します。
- 導出の過程では、1回目と2回目の両方で式を二乗しますが、2回目で誤った結果が得られてしまいます。
- 正しい結果を得るためには、2回目の二乗で正しい等式を設定する必要があります。
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±a√{(x+c)^2+y^2}=cx+a^2 ↓両辺を2乗すると a^2{(x+c)^2+y^2}=(cx+a^2)^2 ↓展開すると a^2x^2+2cxa^2+a^2c^2+a^2y^2=c^2x^2+2cxa^2+a^4 ↓両辺から2cxa^2を引くと a^2x^2+a^2c^2+a^2y^2=c^2x^2+a^4 ↓両辺からa^2x^2+a^2y^2+a^4を引くと a^2c^2-a^4=c^2x^2-a^2x^2-a^2y^2 ↓因数分解すると (c^2-a^2)a^2=(c^2-a^2)x^2-a^2y^2 ↓左辺と右辺を入れ替えると (c^2-a^2)x^2-a^2y^2=(c^2-a^2)a^2
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- atkh404185
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±a√{(x+c)^2 + y^2}=cx + a^2 の両辺を２乗すると [±a√{(x+c)^2 + y^2}]^2=(cx + a^2)^2 a^2{(x+c)^2 + y^2}=c^2x^2+2ca^2x + a^4 a^2(x^2+2cx+c^2 + y^2)=c^2x^2+2ca^2x + a^4 a^2x^2+2ca^2x+a^2c^2+a^2y^2=c^2x^2+2ca^2x+a^4 両辺をいれかえると、 c^2x^2+a^4=a^2x^2+a^2c^2+a^2y^2 a^2x^2+a^2y^2 を左辺に、 a^4 を右辺に移項すると、 c^2x^2-a^2x^2+a^2y^2=a^2c^2-a^4 これより、 (c^2-a^2)x^2+a^2y^2=(c^2-a^2)a^2 になります。 単なる計算まちがいでは？ 自分で計算した式の間違いを見つけるのは 『 なかなか 』 大変です。 《 符号 》 だけの間違いなので、 《 符号 》 に気を付けて、計算し直せばどうですか？
- f272
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普通に計算すればそうなるけど... (c^2 - a^2)x^2 - a^2y^2 =(c^2 - a^2)a^2...(1) の左辺にc^2 x^2があって +-a√{(x+c)^2 + y^2}=cx + a^2...(2) の右辺を2乗したものだよね。 ということは(1)の- a^2y^2は，(2)を2乗して左辺に出てくるa^2 y^2を移項したものだな。
