分類

質問

k∈R のとき, x^5 - x^4 - 8*x^3 + 12* x^2 - (k + 4)*x + k = 0　の
　　　 実数解の個数を　導出過程を明記し調査願います；

　　　____<k<___の とき　,___個。

　　　___が階段を昇る とき;

回答No.2

178-tall

与式は、ANo.1 さんのご指摘通り、
　x(x-1)(x^3-8x+4) = k(x-1)
らしい。

「テストらしさ」は、ここまで。

目当ては、x=1 の零点一つと、x(x^3-8x+4) = k の実零点個数？
(1) Y = x^4-8x^2+4x を「スプレッド・シート」に略描してみると Ｗ - 波形。
(2) つまり、Y' = 4x^3-16x + 4 = 4(x^3-4x+1) には実零点が3 個ある。
(3) Y' の実零点 (の近似値) を「Newton 法」で求める。
　　(例) x ≒- 2.1149075 ... 。ほかの2 零点は 2 次方程式解法にて求まる。

Y' の実零点にて「極値」を求めて、あとはバタバタ。

回答No.1

staratras

計算の過程はかなり省略しています。
与えられた方程式は、(x-1)(x^4-8x^2+4x-k)=0　と因数分解できる。

y=x^4-8x^2+4x …（１）　とy=k　のグラフの交点を考える。

（１）において　y'=4x^3-16x+4
y'=0 より　x^3-4x+1=0 これは還元不能の場合なので三角関数を用いて解くと
cos3t=-(3√3)/16 を満たすtにおいて(3t≒108.951060°、t≒36.3170022°）
x1=-2・(-2√3)/3・cost≒1.860805853
x2=+2・(-2√3)/2・cos(60°+t)≒0.254101688
x3=+2・(-2√3)/2・cos(60°-t)≒-2.114907541
このとき（１）の値を計算すると
x1のときy1≒-8.267976133
x2のときy2≒0.504034393
x3のときy3≒-24.23605826

またx^4-8x^2+4x-k＝0　がx=1を解に持つのはk=-3　のときである。
したがって与えられた方程式の相異なる実数解の個数は

k<y3 のとき　　1個
k=y3のとき　　 2個
y3<k<y1のとき　3個
k=y1のとき　　 4個
y1<k<-3のとき　5個　
k=-3 のとき　　4個
-3<k<y2 のとき 5個
k=y2 のとき　 4個
k>y2 のとき　 3個