次の確率分布の問題の解答解説をお願いします。

質問

・寿命が同じ指数分布に従う電球を並列に繋いだ装置を作る。すべての電球が切れる時をこの装置の寿命とする。寿命の期待値を1本の時と比べて2倍3倍にするには何本繋げばよいか？

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

電球の寿命が平均μ時間の指数分布に従うとすると確率密度関数は
x≧0→f(x)=(1/μ)e^{-x/μ}
x<0→f(x)=0
だから
2個の電球が切れる寿命の期待値は
(2/μ^2)∫_{0～∞}ye^{-y/μ}∫_{0～y}e^{-x/μ}dxdy
=
3μ/2

3個の電球が切れる寿命の期待値は
(3/μ^3)∫_{0～∞}ze^{-z/μ}∫_{0～z}e^{-y/μ}∫_{0～z}e^{-x/μ}dxdydz
=
11μ/6

4個の電球が切れる寿命の期待値は
(4/μ^4)∫_{0～∞}((x_4)e^{-(x_4)/μ}∬∫_{0,0,0～x_4,x_4,x_4}e^{-(x_1+x_2+x_3)/μ}dx_1dx_2dx_3dx_4
=
25μ/12>2μ
だから
2倍にするには4本繋げばよい

5個の電球が切れる寿命の期待値は
(5/μ^5)∫_{0～∞}((x5)e^{-(x5)/μ}∬∬_{0,0,0,0～x5,x5,x5,x5}e^{-(x1+x2+x3+x4)/μ}dx1dx2dx3dx4dx5
=
137μ/60

6個の電球が切れる寿命の期待値は
(6/μ^6)∫_{0～∞}((x6)e^{-(x6)/μ}∬∬∫_{0,…,0～x6,…,x6}e^{-(Σ_{k=1～5}xk)/μ}dx1～dx6
=
49μ/20

7個の電球が切れる寿命の期待値は
(7/μ^7)∫_{0～∞}((x7)e^{-(x7)/μ}∬∬∬_{0,…,0～x7,…,x7}e^{-(Σ_{k=1～6}xk)/μ}dx1～dx7
=
363μ/140

8個の電球が切れる寿命の期待値は
(8/μ^8)∫_{0～∞}((x8)e^{-(x8)/μ}∬∬∬∫_{0,…,0～x8,…,x8}e^{-(Σ_{k=1～7}xk)/μ}dx1～dx8
=
761μ/280

9個の電球が切れる寿命の期待値は
(9/μ^9)∫_{0～∞}((x9)e^{-(x9)/μ}∬∬∬∬_{0,…,0～x9,…,x9}e^{-(Σ_{k=1～8}xk)/μ}dx1～dx9
=
7129μ/2520

10個の電球が切れる寿命の期待値は
(10/μ^10)∫_{0～∞}((x10)e^{-(x10)/μ}∬∬∬∬∫_{0,…,0～x10,…,x10}e^{-(Σ_{k=1～9}xk)/μ}dx1～dx10
=
7381μ/2520

11個の電球が切れる寿命の期待値は
(11/μ^11)∫_{0～∞}((x11)e^{-(x11)/μ}∬∬∬∬∬_{0,…,0～x10,…,x10}e^{-(Σ_{k=1～10}xk)/μ}dx1～dx10
=
83711μ/27720>3μ
3倍にするには11本繋げばよい

お礼

よくわかりました。丁寧にありがとうございました！