次に確率分布の問題の解答解説をお願いします。

質問

1000個に1個の割合で不良品があるお菓子を詰めた100個入りの箱を3個作る際2個以上の箱に不良品が含まれる確率を求めよ。

ポアソン近似です。

回答No.1

jcpmutura

1個が不良品である確率は
p=1/1000=0.001
100個入りの1箱の総数は
n=100
だから(2項分布での)平均値は
np=100/1000=0.1
だから
平均値を
λ=np=0.1
とする
1箱の不良品数をXとする
ポアソン近似は
P(X=k)
=e^{-λ}λ^k/k!
=e^{-0.1}0.1^k/k!
だから
不良品が0の箱を0
不良品が1個以上の箱をxとすると
それぞれの確率は

000…P(X=0)^3=e^{-0.3}
x00…{1-P(X=0)}P(X=0)^2=(1-e^{-0.1})e^{-0.2}
0x0…{1-P(X=0)}P(X=0)^2=(1-e^{-0.1})e^{-0.2}
00x…{1-P(X=0)}P(X=0)^2=(1-e^{-0.1})e^{-0.2}
0xx…P(X=0){1-P(X=0)}^2=e^{-0.1}(1-e^{-0.1})^2
x0x…P(X=0){1-P(X=0)}^2=e^{-0.1}(1-e^{-0.1})^2
xx0…P(X=0){1-P(X=0)}^2=e^{-0.1}(1-e^{-0.1})^2
xxx…{1-P(X=0)}^3=(1-e^{-0.1})^3

だから
2個以上の箱に不良品が含まれる
(0xx,x0x,xx0,xxx)の場合の
確率は
{1-P(X=0)}^3+3P(X=0){1-P(X=0)}^2
=1-P(X=0)^3-3{1-P(X=0)}P(X=0)^2
=1-e^{-0.3}-3(1-e^{-0.1})e^{-0.2}
=1+2e^{-0.3}-3e^{-0.2}
≒0.025444182