次の確率分布の問題の解答解説をお願いします。

質問

・赤玉が8個、白玉が2個入ってる袋の中から1個取り出し袋に戻す操作を繰り返すとき、白玉が出た回数をXとする。次の確率を正規近似を用いて求めよ。
(a)100回繰り返したとき、X<18またはX>22である確率。
(b)1000回繰り返したとき、X<180またはX>220である確率。

回答No.2

tadopikaQ

袋から1個の玉を取出したとき、白玉である確率pは、p=1/5
n回繰り返したときの白玉の出る回数Xは、二項分布B(n,p)に従います。
Xの期待値μと分散σ^2は、
μ = np = n/5
σ^2 = np(1-p) = 4/25*n

二項分布は、nが大きくなるにつれて、正規分布N(μ,σ^2)に近づきます。
指示通りに、Xが正規分布N(μ,σ^2)に従うものと見なして計算します。

(a) Xは、正規分布N(100/5,4/25*100)=N(20,4^2)に従います。求める確率Pは、
P = p(X<18) +p(X>22)
= p(z<(17.5-20)/4) +p(z>(22.5-20)/4)
= p(z<-0.625) +p(z>0.625)
正規分布表から、P=0.2660*2=0.5320

(b) Xは、正規分布N(1000/5,4/25*1000)=N(200,(4√10)^2)に従います。求める確率Pは、
P = p(X<180) +p(X>220)
= p(z<(179.5-200)/4√10) +p(z>(220.5-200)/4√10)
= p(z<-1.6207) +p(z>1.6207)
正規分布表から、P=0.05255*2=0.1051

回答No.1

jcpmutura

白玉が出る確率は
p=1/5

(a)
100回繰り返したとき、
n=100

平均値m=EX=np=100*(1/5)=20
分散σ^2=VarX=np(1-p)=100*(1/5)(4/5)=16
標準偏差σ=4

正規分布表によると
P(y<z)=∫_{-∞～z}f(y)dy
f(y)={1/√(2π)}e^{-y^2/2}

X<x=22の時
y<z=(x-m)/σ=(22-20)/4=1/2=0.5
の時
P(y<0.5)=0.6915
だから
X>22である確率は
P(y>0.5)=1-0.6915=0.3085
だから
X<x=18の時
y<z=(x-m)/σ=(18-20)/4=-1/2=-0.5
の時
P(y<-0.5)=P(y>0.5)=0.3085
だから
X<18またはX>22である確率は
P(y<-0.5)+P(y>0.5)
=0.3085*2
=0.617

(b)
1000回繰り返したとき、
n=1000

平均値m=EX=np=1000*(1/5)=200
分散σ^2=VarX=np(1-p)=1000*(1/5)(4/5)=160
標準偏差σ=4√10

正規分布表によると
P(y<z)=∫_{-∞～z}f(y)dy
f(y)={1/√(2π)}e^{-y^2/2}

X<x=220の時
y<z=(x-m)/σ=(220-200)/(4√10)=√(5/2)≒1.58
の時
P(y<1.58)=0.9429
だから
X>220である確率は
P(y>1.58)=1-0.9429=0.0571
だから
X<x=180の時
y<z=(x-m)/σ=(180-200)/(4√10)=-√(5/2)≒-1.58
の時
P(y<-1.58)=P(y>1.58)=0.0571
だから
X<180またはX>220である確率は
P(y<-1.58)+P(y>1.58)
=0.0571*2
=0.1142