次の確率分布の問題の解答解説をお願いします。

質問

・ある機械にはA,B二つの部品が使われていて,A、Bのどちらかが故障すると機械は動かない。A,Bの耐用年数は、それぞれ平均μ1時間,μ2時間の指数分布に従い,独立であるとする。この機会の耐用年数の期待値を求めよ。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

Aの耐用年数は、平均μ1時間の指数分布に従うからAの確率密度関数は
x≧0→(1/μ1)e^{-x/μ1}
Bの耐用年数は、平均μ2時間の指数分布に従うからBの確率密度関数は
y≧0→(1/μ2)e^{-y/μ2}
だから
この機械の耐用年数の期待値は,
(1/μ1)(1/μ2)[
∫_{0～∞}ye^{-y/μ2}∫_{y～∞}e^{-x/μ1}dxdy
+∫_{0～∞}xe^{-x/μ1}∫_{x～∞}e^{-y/μ2}dydx
]
=
(1/μ1)(1/μ2)[
∫_{0～∞}ye^{-y/μ2}[-μ1e^{-x/μ1}]_{y～∞}dy
+∫_{0～∞}xe^{-x/μ1}[-μ2e^{-y/μ2}]_{x～∞}dydx
]
=
(1/μ2)∫_{0～∞}ye^{-y(1/μ2+1/μ1)}dy
+(1/μ1)∫_{0～∞}xe^{-x(1/μ1+1/μ2)}dx
=
(1/μ2){-∫_{0～∞}(-μ1μ2)e^{-y(1/μ2+1/μ1)}/(μ1+μ2)dy}
+(1/μ1){-∫_{0～∞}(-μ1μ2)e^{-x(1/μ2+1/μ1)}/(μ1+μ2)dx}
=
{μ1/(μ1+μ2)}∫_{0～∞}e^{-y(1/μ2+1/μ1)}dy
+{μ2/(μ1+μ2)}∫_{0～∞}e^{-x(1/μ2+1/μ1)}dx
=
{μ1/(μ1+μ2)}[(-μ1μ2)e^{-y(1/μ2+1/μ1)}/(μ1+μ2)]_{0～∞}
+{μ2/(μ1+μ2)}[(-μ1μ2)e^{-x(1/μ2+1/μ1)}/(μ1+μ2)]_{0～∞}
=
μ1μ2/(μ1+μ2)

お礼

よくわかりました。丁寧にありがとうございました！