次の確率分布の問題の解答解説をお願いします。

質問

・ある飛行機にはエンジンが2基搭載されており1基が動けば飛行可能である。2基のエンジンの寿命は平均μ時間の指数分布に従い独立である。この飛行機の飛行可能時間の期待値を求めよ。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

2基のエンジンの寿命は平均μ時間の指数分布に従うから確率密度関数は
x≧0→f(x)=(1/μ)e^{-x/μ}
x<0→f(x)=0
だから
この飛行機の飛行可能時間の期待値は
∫_{0～∞}(1/μ)ye^{-y/μ}∫_{0～y}(1/μ)e^{-x/μ}dxdy
+∫_{0～∞}(1/μ)xe^{-x/μ}∫_{0～x}(1/μ)e^{-y/μ}dydx
=
(2/μ^2)∫_{0～∞}ye^{-y/μ}∫_{0～y}e^{-x/μ}dxdy
=
(2/μ)∫_{0～∞}ye^{-y/μ}[-e^{-x/μ}]_{0～y}dy
=
(2/μ)∫_{0～∞}ye^{-y/μ}(1-e^{-y/μ})dy
=
(2/μ)∫_{0～∞}y(e^{-y/μ}-e^{-2y/μ})dy
=
(2/μ)[-∫_{0～∞}(-μe^{-y/μ}+(μ/2)e^{-2y/μ})dy]
=
∫_{0～∞}(2e^{-y/μ}-e^{-2y/μ})dy
=
[-2μe^{-y/μ}+(μ/2)e^{-2y/μ}]_{0～∞}
=
2μ-μ/2
=
3μ/2

お礼

よくわかりました。丁寧にありがとうございました！