解析学の初等問題 数列の極限について

質問

解析学の初等問題について質問です。解答は分かっているのですが途中式が分かりません。

問 一般項anが次の式で表される数列{an}の極限（n→∞）を求めよ．

(1) 3^n＋n(-2)^n

(2) (1＋a/√n)^n

(3) n{(1＋a/n)^m-1} 　　(m∈N)

(4) (n^2){(1＋a/n)^m-1-ma/n} 　　(a:実数, m∈N)

解 (1) ∞

(2) a＞0のとき ∞,　 a＜0のとき 0, 　a=0のとき 1

(3) ma

(4) {m(m-1)a^2}/2

どなたか分かる方、1問だけでもいいので途中式の回答をお願いします。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

(1) 3^n＋n(-2)^n
3^n＋n(-2)^n=(3^n){1+n(-2/3)^n}
{}の中は簡単にわかりますね。

(2) (1＋a/√n)^n
t=√nとおくと
(1＋a/√n)^n=(1+a/t)^(t^2)={(1+a/t)^t}^t
{}の中は(1+1/t)^t→e(t→∞)を使える形に変形すればよいでしょう。

(3) n{(1＋a/n)^m-1} 　　(m∈N)
(4) (n^2){(1＋a/n)^m-1-ma/n} 　　(a:実数, m∈N)
これは同じような問題。
(1+a/n)^mを2項定理を用いて展開してみましょう。
(3)の場合、(1/n)の2次以上の項はn→∞で→0となります。
(4)の場合、(1/n)の3次以上の項はn→∞で→0となります。

お礼

ありがとうございます。
テスト勉強で行き詰っていたので、大変助かりました。