数学の問題の解説お願いします。

質問

シニア数学演習

303

正の数ａを初項とする公差3の等差数列をａ1,ａ2,ａ3,……とし、
Ｓn=1/ａ1ａ2＋1/ａ2ａ3＋1/ａ3ａ4＋……＋1/ａn-1ａn　とする。
(1)一般項ａnを求めよ。
(2)n≧2のとき、Ｓnをａとnを用いて表せ。
(3)100以上のすべてのnに対して、Ｓn≧1/3a+1が成立するａの最大値を求めよ。

解答
(1)ａn=ａ+3(n-1)
(2)Ｓn=n-1/ａ(ａ+3n-3)
(3)3√11

解法が分からないので
解説してもらえるとありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

tea-wat · ベストアンサー

問題を解く前にまず-1などがややこしいので、SnをS(n),Sn-1をS(n-1)同様にaもかっこをつけて表します。

(１)は問題文１行目より
そのまま書くだけですね。

(2)まず、S(2)を考えてみましょう。

　S(2)=1/a(1)a(2)ですね。

　ここで、　a(1)=a, a(2)=a+3なので

　S(2)=1/a(a+3)となります。この分数の形に注目です！

　この手のタイプは分解してみましょう！

　S(2)=1/a(a+3)=(1/3)×{1/a　-　1/(a+3)}となるのがわかりますか？

　もしわからなければ確かめてみてください。

　同様にS(3)もしてみると、

　S(3)=1/a(a+3) + 1/(a+3)(a+6)
　　　　=(1/3)×{1/a　-　1/(a+3)} + (1/3)×{1/(a+3)　-　1/(a+6)}
　　　　=(1/3)×{1/a - 1/(a+6)}
　　　　=2×｛1/a(a+6)｝
　です。

　慣れてくるとここである法則性に気付きますが
　一応S(4)もやってみましょう。
　計算結果だけ示すと

　S(4)=(1/3)×{1/a - 1/(a+9)}
　　　　=3×｛1/a(a+9)｝です。

　つまりどういうことかというと、
　分数をそれぞれ分解したとき最初と最後を残して
　後の項はすべて消えてしまうのです。

　よってこのSnは
　S(n)= (n-1)×{1/a(1) - 1/a(n)}で表されるのです。

　これを計算すると(2)の回答が得られます。

(3)まずここで考えるのが

　nの値が大きければ大きいほど、S(n)の値はどうなるのか、ということです。

　n , n+1　で考えてみましょう。

　S(n) = (n-1)×{1/a(1) - 1/a(n)}=(n-1)/ａ(ａ+3n-3)
　S(n+1)= n×{1/a(1) - 1/a(n+1)} =n/ａ(ａ+3n)

ここでS(n+1)-S(n)=a　となるので(計算略)　S(n+1)＞S(n)です。
　a>0なのでnの値が大きければ大きいほど、S(n)の値は大きくなることがわかりました。

　ということはn=100のときS(100)≧1/(3a+1)となる最大のaを求めればよいので

　(2)と同様にSを求めると、
　S(100)=99/a(a+3×99)≧1/(3a+1)

この不等式を解くとa^2(aの2乗)≦99となり

　a=3√11がもとまります。

お礼

ありがとうございます！

とても分かりやすかったです！

回答No.1

naniwacchi

分数は慎重に括弧をつけてくださいね。
どこまでが分子・分母かがわからなくなってしまいます。

(1) 等差数列の一般項、教科書を読み返してください。

(2) S[n]の k番目の項： 1/( a[k]* a[k+1] )を部分分数に分解します。
あとは、「消える項」を消していきます。

(3) 数列の一般項について a[n]＞ a＞ 0ですから、1/( a[k]* a[k-1] )も常に正です。
結果、S[100]≧ 1/( 3a+1 )を満たす aについて、とり得る最大の値を求めます。

お礼

ご指摘ありがとうございます。
括弧のことはよく分からなくて、
勝手につけることをやめてました！

naniwacchi様の解答の助けで
問題を解き進められました、
ありがとうございました。