数Bの問題です。

質問

回答おねがいします。

次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。

(1)a1=3、an+1=an-5

(2)a1=1、an+1=3an

(3)a1=2、an+1=an+n^2+n

(4)a1= 1、an+1=3a+2

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)a[1]=3、a[n+1]=a[n]-5

a[n]-a[n-1]=-5
a[n-1]-a[n-2]=-5
...
a[2]-a[1]=-5
辺々加えると
a[n]-a[1]=-5(n-1)
a[n]=a[1]-5n+5=3+5-5n
∴a[n]=8-5n (n≧1) ...(答え)

(2)a[1]=1、a[n+1]=3a[n]

a[n]=3a[n-1]=3*3a[n-2]
=3^2*a[n-2]
=3^3*a[n-3]
...
=3^(n-1)*a[1]
=3^(n-1)*1
∴a[n]=3^(n-1) (n≧1)

(3)a[1]=2、a[n+1]=a[n]+n^2+n

a[n]-a[n-1]=(n-1)^2+n-1
a[n-1]-a[n-2]=(n-2)^2+n-2
...
a[2]-a[1]=1^2+1
辺々加えて
a[n]-a[1]=Σ(k=1,n-1) k^2 +Σ(k=1,n-1) k
a[n]=2+(1/6)(n-1)n(2n-1)+n(n-1)/2
=(1/3)n^3-(n/3)+2 ...(答え)
or
=(1/3)(n+2)(n^2-2n+3)　...(答え)

(4)a[1]= 1、a[n+1]=3a[n]+2
a[n]=3a[n-1]+2

a[n]+1=3(a[n-1]+1)
=3^2*(a[n-2]+1)
=3^3*(a[n-3]+1)
= ...
=(3^(n-1))(a[1]+1)

a[n]=(3^(n-1))(1+1) -1
∴a[n]=2*3^(n-1) -1 (n≧1) ...(答え)

お礼

ありがとうございます。