数学帰納法でn=1, 2 の成立を示す場合の考え方

質問

数学的帰納法では通常
(1)　n=1の成立を示し，
(2)　n=kの成立を仮定しそれを用いてn=k+1のときの成立を示す

となっていますが，
(1)　n=1,2　の成立を示し
(2)　n=k k+1　の成立を仮定し……
となる問題もときどき見かけます。

後者で証明する場合には問題にどのような特徴があるのでしょか？

宜しくお願いします。

回答No.1

notnot · ベストアンサー

ほとんど自明だと思いますが。

n=kの成立を仮定しそれを用いてn=k+1のときの成立を示すのは難しいあるいは無理だが、n=k k+1　の成立を仮定しn=k+2のときの成立を示すのは易しい。

お礼

すぐの回答ありがとうございます。

回答No.4

graphaffine

#2です。
>数学的帰納法では通常
>(1)　n=1の成立を示し，
>(2)　n=kの成立を仮定しそれを用いてn=k+1のときの成立を示す

確かに、一番最初に習うのはその形ですが、(2)を次の形に変えたものも数学的帰納法と呼ばれます。

(2)'　n<=kの全ての場合の成立を仮定しそれを用いてn=k+1のときの成立を示す

(2)を使った帰納法も(2)'を使った帰納法も、全ての自然数についての成立を証明するという機能的には全く同等なことはお分かりと思います。しかし、その形から分かりますように(2)'を使ったほうが適用範囲が広いのでお勧めです。

ご提示の問題ですが。

n=1のとき、仮定より成立。
n=kのとき成り立つとする。従って、A=x^k+y^kは偶数である。
このとき、A(x+y)=x^(k+1)+y^(k+1)+xy(x^(k-1)+y^(k-1))
なるほど、ここでk-1の成立も仮定するというわけですね。
確かに(2)は使えませんが、(2)'を使った帰納法では問題なく証明できます。

お礼

ありがとうございます。

(2)は参考になりました。

返事が遅くなって申し訳ありません

回答No.3

naniwacchi

こんにちわ。

問題の特徴というのかわかりませんが、
隣接 3項間の漸化式で与えられた数列なんぞを想像してもらえばよいかと。

ちょっとひねりが出てくると、こんな問題もあったりします。
http://okwave.jp/qa/q5898948.html

帰納法の証明は、
「n＝ kを仮定して」や「n＝ k, k+1を仮定して」と置いてから進めていきますが、

「一般の nについて成り立つためには、
その1つ前やさらにその1つ前も成り立たないといけない（だろう）」
という要請からスタートすることも多いです。
そして、それを帰納法によって示していく。という流れです。

上のひねりが入った問題もその類になると思います。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q5898948.html

お礼

ありがとうございます。

返信が遅くなって申し訳ありません

回答No.2

graphaffine

私は見たことが有りませんが、具体的にどのような問題ですか。

例えば、偶数の場合と奇数の場合で現象が異なる場合に、
1及び2に対する成立と、kで成り立てばk+2でも成り立つことを示す、と言う論法はありえそうな気もしますが。

お礼

回答ありがとうございます。

「実数x，yについて，x+y, xy がともに偶数とする。このとき，自然数nに対して，x^n+y^n は偶数になることを示せ」という問題です。