数学的帰納法の第二段について

質問

数学的帰納法は第一段と第二段でわかれてるのですが第二段について質問です。
(Ⅱ) n=kのとき、命題P(n)が成り立つことを仮定すれば…。

この仮定すればって言うのは、第一段で、n＝1は成り立つことから、1以外の数をn＝kと表すことにして、これが成り立つかどうかはわからないけど、n＝k＋1が成り立つことを証明することは、n＝1にkを足しただけ、逆を言えば、第一段で成り立ったn＝1の時の等式にkを足したものだから、成り立ったものとn＝k＋1の等式を関係づけて証明するっことです？

要するに、仮定の使われ方がわかりません。自分なりに考えてみたんですが、しっくりきません。どうかよろしくお願いします。

回答No.4

rnakamra · ベストアンサー

数学的帰納法とは、
n=1で成り立つ。→n=1で成り立つことを利用してn=2でも成り立つ。
→n=2で成り立つことを利用してn=3で成り立つ。

このプロセスを一般化したものです。
n=1で成り立ち、さらに自然数n=kで成り立つことを利用してn=k+1で成り立つ、これが言えれば繰り返し適用することでn=2→3→4→・・・と全ての自然数で成り立つことが連鎖的に導けるという証明法です。

お礼

ご回答大変ありがとうございます。とてもよくわかりました。

回答No.5

naniwacchi

丁寧に回答されているので、ざっくりとした内容で。

帰納法は、「将棋倒し（ドミノ倒し）」の要領で、一般に成り立つことを証明するものです。
将棋倒しは
（I）まず、先頭が倒され、
（II）その次、またその次と倒れていくことです。
この（I）と（II）がそのまま対応します。

帰納法は、だじゃれで「昨日法」とも呼ばれます。
「昨日（1日前）に成ち、今日も成り立つことが示せれば、毎日成り立つ」
といった感じです。

発展形として、
・n=1 と n=2が成り立つことを示し、
・n=k と n=k+1の両方を仮定して、n=k+2が成り立つことを示す。
というものもあります。
これを「一昨日（おととい）法」という人もいたりいなかったり・・・です。

お礼

なかなか具体的な例を示していただきありがとうございます。本当にありがとうございます。

回答No.3

sinisorsa

数学的帰納法による証明法にはいくつかありますが、
普通の方法は、３つのステップになります。
（１）基底　n=1の場合に命題Pを証明する。
（２）仮定　n=kのとき命題Pの成立を仮定する。
　　　（仮定すればではありません。仮定するです。）
（３）帰納　n=k+1　について、（２）の仮定を使って
　　　Pを証明する。
これですべての自然数ｎについて、命題Pが成立するのです。
このことは、整数の性質から証明されています。

整数の公理系について勉強してください。

お礼

大変貴重な意見ありがとうございました。しっかり勉強します。

回答No.2

Gab_km

まず、kって何なのか、じゃないでしょうか。

> n＝1にkを足しただけ
これだと、kという数があって、それを足しているだけように見えますが、果たしてkに何の意味があるのか分かりません。

> n＝kと表すことにして、これが成り立つかどうかはわからないけど
ではなくて、「成り立つとする」ことが、数学的帰納法のキモだと思います。
適当なkを取ってきて、n=kでとりあえず命題が成り立っているときに、その次のn(=k+1)でもその命題が成り立つ。
そんなkだったからこそ、「じゃあこの命題は、(1以上の)どんなnでも成り立つよね」って言ってもいいのかと。

何もないところの仮定は仮定に過ぎないかも知れませんが、『どこまで行ってもその仮定が確からしければ、
結局その仮定(命題)は正しいのだ』と言い切っているのです。

お礼

すごい納得です。とてもすっきりしました。ありがとうございます。

回答No.1

koko_u_u

>1以外の数をn＝kと表すことにして

いいえ。1でも通用しないと帰納法の意味を成しません。

>第一段で成り立ったn＝1の時の等式にkを足したものだから、
>成り立ったものとn＝k＋1の等式を関係づけて証明するっことです？

何を言わんとしているのか不明ですが、きっと違います。
一足飛びに k 足せるなら、一歩ずつ帰納法を使う必要はありません。

イキナリ n = k を考えずに n = 1 の場合を示して、n = 2 の場合を示して、n = 3 の場合を示して、
を繰り返して「法則性」を見つけるようにすればよいでしょう。

お礼

素早い回答ありがとうございました。またよろしくお願いします。